Efecto fotoeléctrico y cuantización

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,25 p. La longitud de onda umbral, $\lambda_0 = 650\cdot 10^{-9}\ \text{m}$, es la longitud de onda más alta para la que tenemos efecto fotoeléctrico. Corresponde a una frecuencia: $f_0 = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3{,}0\cdot 10^{8}}{650\cdot 10^{-9}} = 4{,}62\times 10^{14}\ \text{Hz}$.

0,25 p. El trabajo de extracción del metal es la energía mínima para extraer el electrón: $hf = E_C + W_0$; por tanto, para $E_c = 0$, $W_0 = hf_0$, y haciendo el cálculo obtenemos:$$W_0 = hf_0 = 6{,}626\times 10^{-34}\cdot 4{,}62\times 10^{14} = 3{,}06\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 1{,}91\ \text{eV}$$0,25 p. El potencial de frenado es el voltaje que necesitamos aplicar para frenar los electrones con más energía cinética: $\Delta U = |e|\,\Delta V = E_c$

0,25 p. Calculamos la energía cinética con la que salen los electrones para 300 nm. Primero calculamos la frecuencia correspondiente: $f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3{,}0\cdot 10^{8}}{300\cdot 10^{-9}} = 1{,}00\times 10^{15}\ \text{Hz}$. Y, a continuación, la energía cinética con la que salen es:$$E_C = hf - W_0 = 6{,}626\times 10^{-34}\cdot 1{,}00\times 10^{15} - 3{,}06\cdot 10^{-19} = 3{,}57\cdot 10^{-19}\ \text{J}$$0,25 p. La energía cinética se contrarresta con una energía potencial eléctrica de igual módulo: $\Delta U = q\cdot\Delta V$ y, por tanto, el potencial de frenado debe ser $\Delta V = \dfrac{E_c}{|e|} = \dfrac{3{,}57\cdot 10^{-19}}{1{,}602\cdot 10^{-19}} = 2{,}23\ \text{V}$.

b)

0,5 p. A partir de la ecuación de la energía cinética ya utilizada tenemos $E_C = \dfrac{1}{2}mv^2 = hf - W_0$ y, poniendo la frecuencia en función de la longitud de onda, se obtiene: $v = \sqrt{\dfrac{2}{m}\left(\dfrac{hc}{\lambda} - W_0\right)}$.

Introduciendo los valores correspondientes: $v(\lambda) = \sqrt{\dfrac{2}{9{,}11\cdot 10^{-31}}\left(\dfrac{6{,}626\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{\lambda} - 3{,}06\cdot 10^{-19}\right)}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$; por tanto, la expresión es$$v(\lambda) = \sqrt{\frac{4{,}36\cdot 10^{5}}{\lambda} - 6{,}72\cdot 10^{11}}\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$0,25 p. La velocidad para 500 nm:$$v(500\ \text{nm}) = \sqrt{\frac{4{,}36\cdot 10^{5}}{500\cdot 10^{-9}} - 6{,}72\cdot 10^{11}} = 4{,}47\cdot 10^{5}\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$0,5 p. La longitud de onda de De Broglie la calculamos a partir de la cantidad de movimiento del electrón y la relación de De Broglie: $p = mv = \dfrac{h}{\lambda}$.

Por tanto, $\lambda = \dfrac{h}{mv} = \dfrac{6{,}626\cdot 10^{-34}}{9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 4{,}47\cdot 10^{5}} = 1{,}63\cdot 10^{-9}\ \text{m} = 1{,}67\ \text{nm}$.