El polonio (Z=84) fue descubierto en 1898 por Marie Sklodowska-Curie y Pierre Curie. El isótopo de polonio con un tiempo de semidesintegración más largo es el Po-210, que lo tiene de 138 días. Se desintegra por emisión de una partícula alfa y origina un isótopo estable de plomo (Pb). a) (1,25 puntos) Escriba la desintegración del Po-210. Si la actividad inicial por unidad de masa del Po-210 es de 1,66×1014Bq/g, ¿cuál será la actividad de 5mg de este elemento al cabo de una semana? b) (1,25 puntos) Los núcleos de helio que se producen en las desintegraciones alfa no tardan en captar dos electrones. Supongamos que se forma un átomo de helio en dos pasos bien diferenciados. Primeramente, se transporta desde una gran distancia un primer electrón a 0,6×10−10m de la partícula alfa y se mantiene allí. Posteriormente, un segundo electrón se lleva al otro lado de la partícula alfa a 0,6×10−10m. La configuración final se muestra en la figura.Configuración final: un electrón a cada lado de la partícula alfa, cada uno a 0,6 × 10⁻¹⁰ mCalcule el trabajo realizado por el campo eléctrico en cada uno de los dos pasos. ¿Cuál es la energía potencial electroestática de la configuración final? Datos:∣e∣=1,602×10−19C.k=4πε01=8,99×109N m2C−2.
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a) 0,5 p. Si imponemos la conservación del número de nucleones y de la carga eléctrica, tenemos:84210Po→24He+82206Pb0,25 p. Para encontrar la actividad después de una semana, utilizamos la ecuación de la actividad A(t)=A0e−λt, en la que la actividad inicial es: A0=1,66⋅1014gBq⋅5⋅10−3g=8,3⋅1011Bq 0,25 p. Necesitamos el coeficiente de desintegración, que obtenemos del tiempo de semidesintegración: A(t)=2A0=A0e−λt1/2 y, por tanto, t1/2=λln2. Directamente obtenemos λ=t1/2ln2=138ln2=5,023⋅10−3dıˊas−1 0,25 p. La actividad después de siete días es: A=A0e−λt=8,3⋅1011e−5,023⋅10−3⋅7=8,01⋅1011Bq b) 0,25 p. El trabajo realizado por el campo eléctrico es menos el incremento de energía potencial:W=−ΔU=−q⋅ΔV0,25 p. Al traer el primer electrón desde el infinito (una distancia muy grande), el campo eléctrico y el potencial eléctrico existentes son los creados por la partícula alfa. El potencial inicial es nulo, Vi=0, y el final será Vf1=krqα, donde r es la distancia final, r=0,6×10−10m; por tanto: ΔV1=8,99⋅109⋅0,6⋅10−102⋅1,602⋅10−19=48,006V, y el trabajo hecho por el campo eléctrico durante el desplazamiento del primer electrón es We1=−qe⋅ΔV1=1,602⋅10−19⋅48,006=7,69⋅10−18J. 0,25 p. Al traer el segundo electrón desde el infinito, el potencial eléctrico existente es el creado por la partícula alfa y el electrón. El potencial inicial es nulo y el final será Vf2=krqα+k2rqe; por tanto: ΔV2=8,99⋅109⋅0,6⋅10−102⋅1,602⋅10−19−8,99⋅109⋅2⋅0,6⋅10−101,602⋅10−19=36,005V, y el trabajo para el segundo electrón es We2=−qe⋅ΔV2=1,602⋅10−19⋅36,005=5,77⋅10−18J. La energía potencial final: 0,50 p. La energía potencial de la configuración final es menos el trabajo total hecho por el campo, ya que la energía potencial inicial era nula:Wtotal=We1+We2=7,69⋅10−18+5,77⋅10−18=1,346⋅10−17JΔU=Uf−Ui=−W y, por tanto, la energía potencial final es Uf=−1,346⋅10−17J O alternativamente: 0,50 p. Calculamos la energía potencial electroestática del sistema final como suma de los términos de energía potencial por parejas:Usistema=Ue−He+Ue−He+Ue−e=2Ue−He+Ue−eUsistema=2krqαqe+k2rqeqe=2⋅8,99⋅109⋅0,6⋅10−102⋅1,602⋅10−19⋅(−1,602⋅10−19)+8,99⋅109⋅2⋅0,6⋅10−10(−1,602⋅10−19)2=−1,346⋅10−17J
