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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Cataluña · 2024 · Junio

Enunciado

Ainhoa está intrigada por saber a qué altura explotan los cohetes lanzados en la verbena de San Juan. Para poder determinarlo se sitúa a una distancia de

50

metros del punto donde se lanzan los cohetes y registra, con un sonómetro, un nivel de intensidad sonora de

100

decibelios en la explosión de un cohete que no ha despegado.

a) (1,25 puntos) ¿Qué potencia sonora emite el cohete en el momento de la explosión? Si la explosión ha durado

0{,}03\ \text{s}

, ¿qué energía sonora se ha liberado?

b) (1,25 puntos) Desde la misma distancia al punto de lanzamiento, registra

90

decibelios de intensidad sonora en el caso de un cohete igual al anterior que ha despegado verticalmente y ha explotado a cierta altura. Calcule a qué altura ha explotado el cohete. Si dos cohetes idénticos al anterior explotan simultáneamente a la misma altura que antes, ¿qué nivel de intensidad sonora percibirá Ainhoa, si está situada en la misma posición de antes?

Nota: Considere que las ondas sonoras se propagan en las tres dimensiones del espacio y su energía se distribuye en superficies esféricas.

Datos:

I_0 = 10^{-12}\ \text{W m}^{-2}

. La velocidad del sonido en el aire es de

340\ \text{m/s}

. Superficie esférica:

4\pi r^2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;P = 314{,}16\ \text{W}\;}\qquad \boxed{\;E = 9{,}42\ \text{J}\;}

\boxed{\;h = 150\ \text{m}\;}\qquad \boxed{\;\beta = 93\ \text{dB con dos cohetes}\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,5 p. A partir del nivel de intensidad sonora obtenemos la intensidad de la onda:

\beta = 10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)

100 = 10\log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right),\qquad I = 10^{10}\cdot 10^{-12} = 10^{-2}\ \text{W/m}^2

0,5 p. La potencia emitida por el petardo, suponiendo que el sonido se reparte en una superficie esférica:

P = I\cdot 4\pi r^2 = 10^{-2}\,4\pi\cdot 50^2 = 314{,}16\ \text{W}

.

0,25 p. La energía sonora liberada:

E = P\cdot t = 314{,}16\cdot 0{,}03 = 9{,}42\ \text{J}

.

b)

0,25 p. A partir del nivel de intensidad sonora obtenemos la intensidad de la onda:

\beta = 10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)

90 = 10\log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right),\qquad I = 10^{9}\cdot 10^{-12} = 10^{-3}\ \text{W/m}^2

Cálculo de la altura:

0,25 p. Los cohetes son iguales y, por tanto, la potencia emitida también. Se reparte en una superficie esférica y obtenemos la distancia a la que se encontraba el petardo utilizando la misma relación:

P = I\cdot 4\pi r^2,\qquad r^2 = \frac{P}{4\pi\cdot I} = \frac{314{,}16}{4\pi\cdot 10^{-3}} = 25\,000\ \text{m}^2,\qquad r = 158{,}11\ \text{m}

0,25 p. Utilizando el teorema de Pitágoras obtenemos la altura a la que estalla el cohete:

h = \sqrt{158{,}11^2 - 50^2} = 150\ \text{m}

O alternativamente:

0,5 p. Los cohetes son iguales y, por tanto, la potencia emitida también. Se reparte en una superficie esférica y, por tanto, entre las intensidades y las distancias hay la relación siguiente:

\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_1^2}{r_2^2}\quad\text{por tanto}\quad \frac{10^{-3}\ \text{W/m}^2}{10^{-2}\ \text{W/m}^2} = 0{,}1 = \frac{50^2}{h^2 + 50^2}

y, por tanto,

h^2 + 50^2 = 10\cdot 50^2

h^2 = 9\cdot 50^2

h = 3\cdot 50 = 150\ \text{m}

0,5 p. La intensidad sonora generada por dos cohetes se puede calcular sabiendo que la potencia y la intensidad del sonido se duplicarán. Por tanto: