FísicaMedio2,5 pts

Campo y potencial eléctrico

Cataluña · 2024 · Junio
Enunciado
La superficie de la Tierra es principalmente agua que contiene iones en disolución y que le hacen adquirir una carga neta negativa. Se puede considerar que la Tierra tiene un campo eléctrico en puntos próximos a su superficie con un módulo constante de 150 N/C150\ \text{N/C}.

a) (1,25 puntos) Dibuje la esfera terrestre y represente el campo eléctrico alrededor de la superficie. Calcule el valor de la carga total que produce este campo eléctrico. Para ello, considere que el campo eléctrico creado por una superficie esférica cargada uniformemente es igual al generado por toda la carga situada en el centro de la esfera.

b) (1,25 puntos) Calcule el módulo de la fuerza eléctrica que producirá el campo eléctrico sobre un electrón libre situado cerca de la superficie de la Tierra. Calcule la masa que debe tener una gota esférica de agua con una carga extra de un solo electrón para que su peso se compense con la fuerza eléctrica. Elabore un esquema donde se muestren las fuerzas que actúan sobre la gota. Calcule el diámetro de esta gota de agua.

Datos: Radio de la Tierra, RT=6,37×106 mR_T = 6{,}37\times 10^{6}\ \text{m}. Densidad del agua, ρ=103 kg/m3\rho = 10^{3}\ \text{kg/m}^3. Masa del electrón, Me=9,11×10−31 kgM_e = 9{,}11\times 10^{-31}\ \text{kg}. Superficie esférica: 4πr24\pi r^2. Volumen de una esfera: 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3. ∣e∣=1,602×10−19 C|e| = 1{,}602\times 10^{-19}\ \text{C}. k=14πε0=8,99×109 N m2 C−2k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99\times 10^{9}\ \text{N m}^2\,\text{C}^{-2}. g=9,81 m/s2g = 9{,}81\ \text{m/s}^2.
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Resultado
  q=−6,77⋅105 C    Fe=2,403⋅10−17 N  \boxed{\;q = -6{,}77\cdot 10^{5}\ \text{C}\;}\qquad \boxed{\;F_e = 2{,}403\cdot 10^{-17}\ \text{N}\;}  m=2,45⋅10−18 kg    d=167 nm  \boxed{\;m = 2{,}45\cdot 10^{-18}\ \text{kg}\;}\qquad \boxed{\;d = 167\ \text{nm}\;}
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Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a)

0,5 p. Dibujo: el campo eléctrico está dirigido hacia las cargas negativas y es radial por la geometría esférica:
La Tierra con el campo eléctrico E radial y dirigido hacia su superficie
La Tierra con el campo eléctrico E radial y dirigido hacia su superficie
0,5 p. El enunciado nos dice que el campo eléctrico es el generado por toda la carga en el centro de la esfera. Sabemos que el módulo del campo eléctrico en este caso es:∣E⃗∣=k qr2|\vec E| = k\,\frac{q}{r^2}0,15 p. Por tanto, la carga es: ∣q∣=∣E∣ r2k=150⋅(6,37⋅106)28,99⋅109=6,77⋅105 C|q| = \dfrac{|E|\,r^2}{k} = \dfrac{150\cdot(6{,}37\cdot 10^{6})^2}{8{,}99\cdot 10^{9}} = 6{,}77\cdot 10^{5}\ \text{C}

0,10 p. Por considerar que la carga es negativa: q=−6,77⋅105 Cq = -6{,}77\cdot 10^{5}\ \text{C}

b)

0,25 p. Su módulo será: ∣F⃗e∣=q ∣E∣=1,602⋅10−19⋅150=2,403⋅10−17 N|\vec F_e| = q\,|E| = 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 150 = 2{,}403\cdot 10^{-17}\ \text{N}

0,5 p. El peso de la gota de agua debe ser igual a la fuerza eléctrica creada por el campo ya calculada:∣F⃗e∣=∣P⃗∣=mgy, por tanto,m=∣F⃗e∣g=2,403⋅10−179,81=2,45⋅10−18 kg|\vec F_e| = |\vec P| = mg \quad\text{y, por tanto,}\quad m = \frac{|\vec F_e|}{g} = \frac{2{,}403\cdot 10^{-17}}{9{,}81} = 2{,}45\cdot 10^{-18}\ \text{kg}0,25 p. Esquema: la fuerza eléctrica, contraria al campo eléctrico, se opone al peso.
Sobre la gota con carga negativa, la fuerza eléctrica Fe hacia arriba y el peso P hacia abajo, sobre la superficie terrestre cargada negativamente
Sobre la gota con carga negativa, la fuerza eléctrica Fe hacia arriba y el peso P hacia abajo, sobre la superficie terrestre cargada negativamente
0,25 p. Para calcular el diámetro de la gota, sabemos que la masa de la gota es su volumen por la densidad del agua, m=ρ 43πr3m = \rho\,\frac{4}{3}\pi r^3, y encontramos el radio:r=3m4πρ3=3⋅2,45⋅10−184π⋅1033=0,836⋅10−7 mr = \sqrt[3]{\frac{3m}{4\pi\rho}} = \sqrt[3]{\frac{3\cdot 2{,}45\cdot 10^{-18}}{4\pi\cdot 10^{3}}} = 0{,}836\cdot 10^{-7}\ \text{m}El diámetro es dos veces el radio:d=1,67⋅10−7 m=0,167 μm=167 nmd = 1{,}67\cdot 10^{-7}\ \text{m} = 0{,}167\ \mu\text{m} = 167\ \text{nm}

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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