Movimiento armónico simple

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,25 p. La ecuación de la posición vertical es la componente del vector posición de la masa respecto del centro del disco, que podemos escribir en función del ángulo $\theta$ respecto del eje vertical $y$. El ángulo aumenta linealmente con el tiempo y proporcionalmente a la velocidad angular, $\theta = \omega t + \varphi_0$. Y, por tanto: $y(t) = A\cos(\theta) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$ o, alternativamente, con el seno: $y(t) = A\sin(\theta) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$

0,25 p. Para escribir la ecuación necesitamos la amplitud, que es el radio, $A = 0{,}19\ \text{m}$; la velocidad angular, $\omega = 6{,}41\ \text{rad/s}$; y la fase inicial la obtenemos del instante inicial $t = 0$, en el que la posición es $-A$.

0,25 p. Cálculo de la posición:

Si se considera el sentido positivo hacia arriba:

$y(0) = -A = A\cos(\varphi_0)$ y $-1 = \cos(\varphi_0)$, $\varphi = \arccos(-1) = \pi\ \text{rad}$

Y, por tanto, $y(t) = 0{,}19\cos(6{,}41\,t + \pi)$ m y $t$ en segundos, o también $y(t) = -0{,}19\cos(6{,}41\,t)$ m y $t$ en segundos.

Si se considera el sentido positivo hacia abajo:

$y(0) = A = A\cos(\varphi_0)$ y $1 = \cos(\varphi_0)$, $\varphi = \arccos(1) = 0\ \text{rad}$

Y, por tanto, $y(t) = 0{,}19\cos(6{,}41\,t)$ m y $t$ en segundos, o también $y(t) = -0{,}19\cos(6{,}41\,t + \pi)$ m y $t$ en segundos.

0,25 p. Las velocidades angulares de las dos masas son iguales; por tanto, $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ y $k = \omega^2 m = 6{,}41^2\cdot 0{,}5 = 20{,}54\ \text{N/m}$.

0,25 p. La energía mecánica es $E_m = \dfrac{1}{2}kA^2 = 0{,}5\cdot 20{,}54\cdot 0{,}19^2 = 0{,}371\ \text{J}$

b)

0,25 p. Cálculo de la velocidad:

Si se considera el sentido positivo hacia arriba:$$v(t) = \frac{dy}{dt} = -0{,}19\cdot 6{,}41\sin(6{,}41\,t + \pi) = -1{,}218\sin(6{,}41\,t + \pi)\ \text{m/s}$$Si se considera el sentido positivo hacia abajo:$$v(t) = \frac{dy}{dt} = -0{,}19\cdot 6{,}41\sin(6{,}41\,t) = -1{,}218\sin(6{,}41\,t)\ \text{m/s}$$0,25 p. La energía cinética:$$E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\,0{,}5\cdot 1{,}218^2\sin^2(6{,}41\,t + \pi) = 0{,}371\sin^2(6{,}41\,t + \pi)\ \text{J}$$o bien $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}\,0{,}5\cdot 1{,}218^2\sin^2(6{,}41\,t) = 0{,}371\sin^2(6{,}41\,t)\ \text{J}$

Gráfica:$$E_m = 0{,}371\ \text{J},\qquad E_p = \frac{1}{2}ky^2 = 10{,}27\,y^2\ \text{J},\qquad E_c = E_m - E_p = 0{,}371 - 10{,}27\,y^2\ \text{J}$$0,25 p. Representación de la $E_m$.

0,25 p. Representación de la $E_p$.

0,25 p. Representación de la $E_c$.

Si el escalado no es correcto, se deben restar 0,25 puntos.