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Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Cataluña · 2024 · Junio

Enunciado

BepiColombo es una misión espacial que tiene por objetivo la exploración de Mercurio. La misión fue lanzada en 2018, y llegará en 2025. Una vez allá, pondrá en órbita dos satélites alrededor del planeta. Uno de los satélites es el Mercury Planetary Orbiter (MPO), construido por la Agencia Espacial Europea, que orbitará alrededor de Mercurio con un radio orbital medio de

3\,360\ \text{km}

.

a) (1,25 puntos) Considere un satélite que realiza una órbita circular alrededor de Mercurio. Deduzca la expresión de la velocidad orbital del satélite en función del radio orbital y la masa de Mercurio (indique claramente en qué principios o leyes físicas se basa para hacer su deducción). Con esta expresión, calcule la velocidad orbital del satélite MPO mientras orbita alrededor de Mercurio. Calcule cuántas vueltas habrá dado al planeta al cabo de un año terrestre.

b) (1,25 puntos) A partir de la expresión general de la energía mecánica, obtenga la ecuación de esta para el caso particular de un satélite en órbita circular (es necesario que la ecuación final solo esté expresada en función de

G

, el radio orbital y las masas del satélite y del planeta). Una vez que el satélite MPO esté orbitando Mercurio, todavía tendrá combustible para poder hacer maniobras. Considere que el combustible disponible puede proporcionar una energía de

4{,}5\times 10^{9}\ \text{J}

. Determine el valor máximo que podría tener la masa del MPO para que con la energía disponible pudiera escapar del campo gravitatorio de Mercurio.

Datos:

G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}

. Masa de Mercurio,

M_M = 3{,}285\times 10^{23}\ \text{kg}

. Año terrestre

= 365{,}25

días.

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Resultado

\boxed{\;v = \sqrt{G\,\frac{M_M}{r}} = 2{,}55\times 10^{3}\ \text{m/s}\;}\qquad \boxed{\;3816\ \text{vueltas en un año}\;}

\boxed{\;E_m = -\frac{G M_{MPO}M_M}{2r}\;}\qquad \boxed{\;M_{MPO,\,\text{máx}} = 1{,}38\times 10^{3}\ \text{kg}\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Para encontrar la expresión de la velocidad orbital

0,10 p. Según la ley de la gravitación universal, el módulo de la fuerza sobre el satélite debida a la atracción de Mercurio es:

F = G\,\frac{M_{MPO}M_M}{r^2}

0,10 p. La segunda ley de Newton establece que:

\vec F = M_{MPO}\,\vec a

0,15 p. Por otra parte, considerando que el satélite describe un movimiento circular uniforme alrededor de Mercurio, su aceleración es la aceleración centrípeta:

a = v^2/r

0,15 p. Como sobre el satélite solo actúa la fuerza de la gravedad:

G\,\frac{M_{MPO}M_M}{r^2} = M_{MPO}\,\frac{v^2}{r} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{G\,\frac{M_M}{r}}

0,25 p. Utilizando la expresión, obtenemos el valor de la velocidad orbital del MPO:

v_{MPO} = \sqrt{G\,\frac{M_M}{r}} = \sqrt{6{,}67\times 10^{-11}\,\frac{3{,}285\times 10^{23}}{3{,}36\times 10^{6}}} = 2{,}55\times 10^{3}\ \text{m/s}

0,25 p. Para saber el número de vueltas que da el MPO durante un año terrestre, tenemos que comparar los dos tiempos.

El periodo del MPO:

T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi\cdot 3{,}36\times 10^{6}}{2{,}55\times 10^{3}} = 8{,}28\times 10^{3}\ \text{s}

0,25 p. Y un año en segundos:

t_{\text{año}} = 365{,}25\ \text{días}\cdot\dfrac{24\ \text{h}}{1\ \text{día}}\cdot\dfrac{3600\ \text{s}}{1\ \text{h}} = 3{,}16\times 10^{7}\ \text{s}

n_{vueltas/\text{año}} = \frac{t_{\text{año}}}{T} = \frac{3{,}16\times 10^{7}}{8{,}28\times 10^{3}} = 3816\ \text{vueltas}

b)

0,5 p. La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la potencial:

E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}M_{MPO}v^2 - G\,\frac{M_{MPO}M_M}{r} = \frac{1}{2}M_{MPO}\,G\,\frac{M_M}{r} - G\,\frac{M_{MPO}M_M}{r} = -\frac{G M_{MPO}M_M}{2r}

Cálculo de la masa:

0,5 p. Para escapar del campo gravitatorio de Mercurio, la energía mecánica final debe ser nula. Por tanto, el incremento de energía necesario es: