Movimiento armónico simple

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,10 p. La frecuencia de oscilación es el número de oscilaciones por segundo: $f = \dfrac{40\ \text{oscil}}{60\ \text{s}} = 0{,}667\ \text{Hz}$, y el periodo, su inversa: $T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{0{,}667} = 1{,}5\ \text{s}$

0,15 p. La constante del muelle está relacionada con la frecuencia angular del movimiento:$$k = m\omega^2 = m(2\pi f)^2 = 0{,}1\cdot\left(\frac{2\pi}{1{,}5}\right)^2 = 1{,}75\ \text{N/m}$$0,15 p. Considerando que el alumno escoge la ecuación del movimiento $y = A\cdot\sin(\omega t + \varphi_0)$ o $y = A\cdot\cos(\omega t + \varphi_0)$. La diferencia entre la posición más alta y la más baja es $2A = 0{,}15\ \text{m}$ y, por tanto, $A = 0{,}075\ \text{m}$. La frecuencia angular es $\omega = 2\pi f = 4{,}19\ \text{rad/s}$.

0,10 p. Inicialmente ($t = 0$) está en la posición más baja: $-A = A\cdot\sin(\varphi_0)$; por tanto, $\varphi_0 = \dfrac{3\pi}{2}\ \text{rad}$ (o $\varphi_0 = -\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$), y nos queda: $y = 0{,}075\cdot\sin\left(4{,}19t + \dfrac{3\pi}{2}\right)$ m, donde $t$ está en segundos e $y$ en metros. Alternativamente, con el coseno: $-A = A\cdot\cos(\varphi_0)$; por tanto, $\varphi_0 = \pi\ \text{rad}$ y, por tanto: $y = 0{,}075\cdot\cos(4{,}19t + \pi)$ m, o $y = -0{,}075\cdot\cos(4{,}19t)$ m, o $y = -0{,}075\cdot\sin\left(4{,}19t + \dfrac{\pi}{2}\right)$ m, o cualquier otra equivalente.

También puede ser que el alumno exprese que el sentido positivo del eje $y$ es hacia abajo, y obtenga las mismas expresiones cambiadas de signo.

0,25 p. Para representar la fuerza elástica: $F(t) = -k\cdot y(t) = -1{,}75\cdot 0{,}075\cdot\sin\left(4{,}19t + \dfrac{3\pi}{2}\right)\ \text{N} = -0{,}13\cdot\sin\left(4{,}19t + \dfrac{3\pi}{2}\right)\ \text{N}$ o, alternativamente, puede utilizar otras expresiones de $y(t)$ y obtener $F(t) = 0{,}13\cdot\cos(4{,}19t)\ \text{N}$, …

Las expresiones de la posición y de la fuerza dadas deben ser coherentes.

0,5 p. Dibujo. No especificar la magnitud resta 0,1; no especificar las unidades resta 0,1, y no especificar correctamente los valores numéricos en los ejes resta 0,1.

b)

0,5 p. La energía mecánica del movimiento armónico simple es$$E_m = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}\,1{,}75\cdot 0{,}075^2 = 4{,}92\cdot 10^{-3}\ \text{J}$$0,5 p. Y la energía cinética en función de la posición la podemos obtener de$$E_c = E_m - E_{pe} = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$$y, poniendo valores: $E_c = 0{,}875\,(0{,}075^2 - x^2) = 0{,}00492 - 0{,}875\,x^2$.

0,25 p. La velocidad para $y = 3\ \text{cm}$ la podemos encontrar a partir de la energía cinética:$$E_c = 0{,}875\,(0{,}075^2 - 0{,}03^2) = 4{,}13\cdot 10^{-3}\ \text{J}$$Y la velocidad será:$$v = \sqrt{\frac{2\cdot E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 4{,}13\cdot 10^{-3}}{0{,}1}} = \pm 0{,}288\ \text{m/s}$$