Radiactividad y desintegración

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,5 p. Debemos imponer la conservación del número de nucleones y de la carga eléctrica. Igualmente, como se emite un leptón (electrón) que es partícula, se debe emitir un leptón que sea antipartícula; por tanto, se emitirá un antineutrino:$${}^{14}_{6}\text{C} \to {}^{14}_{7}\text{N} + {}^{\;\,0}_{-1}e + {}^{0}_{0}\bar\nu_e$$0,25 p. Se trata de una desintegración beta ($\beta^-$), porque se emite un electrón.

0,5 p. La ecuación de desintegración es $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$, donde $\lambda$ es la constante de desintegración. El periodo de semidesintegración $t_{1/2}$ es aquel en el que la muestra radiactiva $N$ se ha reducido a la mitad. Para este tiempo se cumple:

$N(t) = \dfrac{N_0}{2} = N_0\,e^{-\lambda t_{1/2}}$ y, por tanto, $\dfrac{1}{2} = e^{-\lambda t_{1/2}}$, y obtenemos $\lambda\cdot t_{1/2} = -\ln\dfrac{1}{2}$. Despejando el periodo de semidesintegración tenemos: $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.

b)

0,25 p. Utilizamos la expresión $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ para calcular la constante de desintegración:$$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{5730} = 1{,}21\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}$$o su equivalente en segundos, $\lambda = 3{,}83\cdot 10^{-12}\ \text{s}^{-1}$.

0,5 p. Para calcular qué porcentaje de carbono-14 permanece en la muestra respecto al que había en el momento de la muerte del animal, volvemos a utilizar la ecuación de desintegración $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$. Aplicando la expresión para el tiempo que ha pasado, obtenemos el cociente entre el carbono-14 actual y el inicial (momento de la muerte del animal):$$\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} = e^{-1{,}21\cdot 10^{-4}\cdot 6010} = 0{,}483$$Por tanto, queda un 48,3 % del carbono-14 inicial.

0,5 p. La variación de la actividad con el tiempo nos la da la relación siguiente: $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$. Si la actividad actual es de 3,63 Bq y han pasado 6010 años, la actividad del hueso en el momento de la muerte del animal, $A_0$, es:$$A_0 = \frac{A(t)}{e^{-\lambda t}} = \frac{3{,}63}{0{,}483} = 7{,}51\ \text{Bq}$$