Campo y potencial eléctrico

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,5 p. Dibujo: la fuerza eléctrica es repulsiva, ya que las cargas tienen el mismo signo, y se opone al peso.

0,25 p. El objeto levita; por tanto, está en equilibrio, y la suma de fuerzas que actúan sobre él será cero. Por tanto, los módulos de la fuerza eléctrica y del peso serán iguales: $\vec F_e + \vec P = 0$ y $|\vec F_e| = |\vec P|$.

0,5 p. Para calcular la carga del objeto, utilizamos la expresión de la fuerza eléctrica y la igualamos a la del peso:$$k\,\frac{q_{obj}\,q_{bar}}{r^2} = mg$$donde la carga del objeto y la de la varita son iguales: $q_{obj} = q_{bar} = Q$ y, por tanto, podemos escribir: $k\,\dfrac{Q\cdot Q}{r^2} = mg$ y, por tanto,$$Q = \sqrt{\frac{mgr^2}{k}} = \sqrt{\frac{0{,}01\cdot 9{,}8\cdot 0{,}55^2}{8{,}99\cdot 10^{9}}} = 1{,}82\cdot 10^{-6}\ \text{C} = 1{,}82\ \mu\text{C}$$Por tanto, la carga del objeto es $q_{obj} = 1{,}82\ \mu\text{C}$.

b)

0,15 p. El campo eléctrico en el punto central es la suma de los dos campos.

0,15 p. Las cargas son iguales, $-2\ \mu\text{C}$, y las distancias al punto también, $0{,}3\ \text{m}$; por tanto, los dos campos tendrán el mismo módulo. El campo eléctrico creado por una carga negativa está dirigido hacia la carga que lo crea; así pues, tendrán sentido contrario.

$$\vec E = \vec E_{obj} + \vec E_{bar} = k\,\frac{q}{r^2}\,\vec j - k\,\frac{q}{r^2}\,\vec j = 0$$El alumno debe calcular o justificar el resultado.

0,15 p. El potencial será la suma de los potenciales creados por cada carga. Considerando el potencial nulo en el infinito:$$V = V_{obj} + V_{bar} = k\,\frac{q}{r} + k\,\frac{q}{r}$$0,20 p. Por tanto,$$V = 8{,}99\cdot 10^{9}\,\frac{-2\cdot 10^{-6}}{0{,}3} + 8{,}99\cdot 10^{9}\,\frac{-2\cdot 10^{-6}}{0{,}3} = -1{,}20\cdot 10^{5}\ \text{V}$$Cálculo del trabajo de la fuerza externa:

0,20 p. Para llevar un electrón desde el infinito hasta el punto central tendremos que hacer en todo momento una fuerza contraria al campo eléctrico; por tanto, el trabajo hecho por la fuerza externa es el trabajo hecho por la fuerza eléctrica cambiado de signo.

0,40 p. El trabajo realizado por el campo eléctrico es menos el incremento de energía potencial:$$W_E = -\Delta U = -q\cdot\Delta V = 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot(-1{,}2\cdot 10^{5} - 0) = -1{,}92\cdot 10^{-14}\ \text{J}$$Por tanto, la fuerza externa debe hacer un trabajo: $W_{ext} = 1{,}92\cdot 10^{-14}\ \text{J}$

O, alternativamente:

0,20 p. El trabajo de las fuerzas externas es la variación de energía potencial: $W_{F\,ext} = \Delta U$

0,40 p. Por tanto, calculamos la variación de energía potencial al llevar la carga desde el infinito hasta el punto central: $\Delta U = q\cdot\Delta V = -1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot(-1{,}2\cdot 10^{5} - 0) = 1{,}92\cdot 10^{-14}\ \text{J}$ y, por tanto, $W_{ext} = 1{,}92\cdot 10^{-14}\ \text{J}$.