Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Encontrar la expresión de la velocidad orbital

0,15 p. Según la ley de la gravitación universal, el módulo de la fuerza sobre el sexto planeta a causa de la atracción de la estrella HD110067 es: $F = G\,\dfrac{M_6 M_{HD}}{r^2}$

0,15 p. Suponiendo un movimiento circular uniforme alrededor de la estrella, la aceleración centrípeta del planeta es $a_n = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r$, donde la velocidad angular es $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$.

0,15 p. El periodo en segundos: $T = 54{,}7\ \text{d}\cdot\dfrac{24\cdot 3600\ \text{s}}{1\ \text{d}} = 4{,}73\cdot 10^{6}\ \text{s}$.

0,30 p. Como sobre el planeta solo actúa la fuerza de la gravedad: $G\,\dfrac{M_6 M_{HD}}{r^2} = M_6\,\omega^2 r$

Por tanto, encontramos$$r = \sqrt[3]{\frac{G M_{HD} T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}98\cdot 10^{30}\,(4{,}73\cdot 10^{6})^2}{4\pi^2}} = 4{,}214\cdot 10^{10}\ \text{m}$$0,25 p. La representación de la aceleración normal.

0,25 p. El módulo de la aceleración normal:$$a_n = \omega^2 r = \frac{4\pi^2}{T^2}\,r = \frac{4\pi^2}{(4{,}73\cdot 10^{6})^2}\,4{,}214\cdot 10^{10} = 7{,}44\cdot 10^{-2}\ \text{m/s}^2$$b)

0,5 p. Los periodos del quinto y sexto planetas tienen la relación $3\cdot T_6 = 4\cdot T_5$. Por tanto, utilizando la tercera ley de Kepler (que también podemos deducir de la relación anterior entre radio y periodo), $r_6^3/T_6^2 = r_5^3/T_5^2$, tenemos que$$r_5 = r_6\sqrt[3]{\frac{T_5^2}{T_6^2}} = r_6\sqrt[3]{\frac{9}{16}} = 3{,}48\cdot 10^{10}\ \text{m}$$O, alternativamente,$$T_5 = \frac{3}{4}\,4{,}73\cdot 10^{6} = 3{,}547\cdot 10^{6}\ \text{s}$$Y calculamos el radio:$$r_5 = \sqrt[3]{\frac{G M_{HD} T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}98\cdot 10^{30}\,(3{,}547\cdot 10^{6})^2}{4\pi^2}} = 3{,}48\cdot 10^{10}\ \text{m}$$Cálculo de la energía mecánica:

0,5 p. La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la potencial:$$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}M_5 v^2 - G\,\frac{M_5 M_{HD}}{r} = \frac{1}{2}M_5\,G\,\frac{M_{HD}}{r} - G\,\frac{M_5 M_{HD}}{r} = -\frac{G M_5 M_{HD}}{2r}$$0,25 p. Y para el quinto planeta:$$E_m = -\frac{G M_5 M_{HD}}{2r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2{,}5\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 1{,}98\cdot 10^{30}}{2\cdot 3{,}48\cdot 10^{10}} = -2{,}84\cdot 10^{34}\ \text{J}$$Si el alumno no pone el signo negativo de la energía mecánica, se restan 0,2.

O, alternativamente, calcular la velocidad y encontrar la energía cinética:

0,15 p. $v = \dfrac{2\pi r}{T_5} = \dfrac{2\pi\cdot 3{,}48\cdot 10^{10}}{3{,}547\cdot 10^{6}} = 6{,}16\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$

0,25 p. $E_c = \dfrac{1}{2}M_5 v^2 = \dfrac{1}{2}\,2{,}5\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\,(6{,}16\cdot 10^{4})^2 = 2{,}84\cdot 10^{34}\ \text{J}$

0,25 p. Calcular $E_p = -\dfrac{G M_5 M_{HD}}{r} = -\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2{,}5\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 1{,}98\cdot 10^{30}}{3{,}48\cdot 10^{10}} = -5{,}68\cdot 10^{34}\ \text{J}$

0,10 p. Y calcular $E_m = E_c + E_p = 2{,}84\cdot 10^{34} - 5{,}68\cdot 10^{34} = -2{,}84\cdot 10^{34}\ \text{J}$

Si el alumno no pone el signo negativo de la energía mecánica, se restan 0,2.