Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) La longitud de onda de De Broglie es $\lambda = h/p$, y el momento lineal se relaciona con la energía cinética mediante$$E_c = \frac{p^2}{2m} \quad\Longrightarrow\quad p = \sqrt{2\,m\,E_c}$$Por tanto,$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}}$$Con la misma energía cinética, $\lambda$ es inversamente proporcional a $\sqrt{m}$:$$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$$Y como $m_1 = \tfrac{1}{3}m_2$, es decir, $m_2/m_1 = 3$:$$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{3} = 1{,}73 \qquad\Longrightarrow\qquad \lambda_1 = \sqrt{3}\,\lambda_2$$La partícula más ligera tiene la longitud de onda mayor.

b) i) Momento lineal del protón:$$p = m_p\,v = 1{,}67\cdot 10^{-27}\cdot 3{,}8\cdot 10^{3} = 6{,}35\cdot 10^{-24}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{6{,}35\cdot 10^{-24}} = 1{,}04\cdot 10^{-10}\ \text{m}$$(del orden del tamaño de un átomo, por eso estas ondas se detectan difractando en cristales).

b) ii) El electrón tiene el mismo momento lineal $p = 6{,}35\cdot 10^{-24}\,\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$, pero su masa es mucho menor:$$E_c = \frac{p^2}{2 m_e} = \frac{(6{,}35\cdot 10^{-24})^2}{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}} = \frac{4{,}03\cdot 10^{-47}}{1{,}82\cdot 10^{-30}}$$$$E_c = 2{,}21\cdot 10^{-17}\ \text{J}$$Es unas $1800$ veces mayor que la del protón, justo el cociente de masas: con el mismo $p$, la partícula ligera se lleva mucha más energía.

b) iii) Velocidad del electrón:$$v_e = \frac{p}{m_e} = \frac{6{,}35\cdot 10^{-24}}{9{,}1\cdot 10^{-31}} = 6{,}97\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(Comprobación: $\tfrac{1}{2}m_e v_e^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot (6{,}97\cdot 10^{6})^2 = 2{,}21\cdot 10^{-17}\,\text{J}$, que coincide con lo obtenido en ii).)