Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) Combinando De Broglie con la energía cinética:$$p = \frac{h}{\lambda} \qquad E_c = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{2\,m\,\lambda^2}$$Para la primera partícula ($m_1 = m$, $\lambda_1 = 2\lambda$):$$E_{c,1} = \frac{h^2}{2\,m\,(2\lambda)^2} = \frac{h^2}{8\,m\,\lambda^2}$$Para la segunda ($m_2 = 4m$, $\lambda_2 = \lambda$):$$E_{c,2} = \frac{h^2}{2\,(4m)\,\lambda^2} = \frac{h^2}{8\,m\,\lambda^2}$$$$\boxed{E_{c,1} = E_{c,2}}$$Las dos partículas tienen la misma energía cinética. El factor $4$ de la masa se compensa exactamente con el factor $2^2$ de la longitud de onda.

b) i) Momento lineal del electrón:$$p = m_e\,v = 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 1{,}5\cdot 10^{7} = 1{,}365\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$Longitud de onda asociada:$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{1{,}365\cdot 10^{-23}} = 4{,}86\cdot 10^{-11}\ \text{m}$$Energía cinética:$$E_c = \tfrac{1}{2}m_e v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot (1{,}5\cdot 10^{7})^2$$$$E_c = 1{,}02\cdot 10^{-16}\ \text{J}$$b) ii) Que el protón tenga la misma longitud de onda significa que tiene el mismo momento lineal:$$p_p = p_e = 1{,}365\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$Su velocidad es entonces mucho menor, porque su masa es mucho mayor:$$v_p = \frac{p}{m_p} = \frac{1{,}365\cdot 10^{-23}}{1{,}67\cdot 10^{-27}} = 8{,}17\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Y su energía cinética:$$E_{c,p} = \frac{p^2}{2\,m_p} = \frac{(1{,}365\cdot 10^{-23})^2}{2\cdot 1{,}67\cdot 10^{-27}} = 5{,}58\cdot 10^{-20}\ \text{J}$$Con el mismo momento lineal, el protón es unas $1800$ veces más lento y tiene unas $1800$ veces menos energía cinética que el electrón.