Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) i) Para partículas de la misma masa:$$\lambda = \frac{h}{m\,v} \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{h}{m\,\lambda} \quad\Longrightarrow\quad v \propto \frac{1}{\lambda}$$Si $\lambda_1 = 2\lambda_2$:$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{1}{2} \qquad\Longrightarrow\qquad v_2 = 2\,v_1$$La partícula con la longitud de onda menor es la que se mueve más rápido.

a) ii) La energía cinética es $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, con la misma masa:$$\frac{E_{c,1}}{E_{c,2}} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$$$E_{c,2} = 4\,E_{c,1}$$La segunda partícula tiene cuatro veces más energía cinética.

b) i) De la energía cinética de las partículas alfa:$$E_c = \tfrac{1}{2}m_\alpha v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,E_c}{m_\alpha}} = \sqrt{\frac{2\cdot 8{,}2\cdot 10^{-13}}{6{,}65\cdot 10^{-27}}}$$$$v = \sqrt{2{,}47\cdot 10^{14}} = 1{,}57\cdot 10^{7}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(un $5\,\%$ de la velocidad de la luz: el tratamiento clásico sigue siendo aceptable).

b) ii) Momento lineal y longitud de onda de De Broglie:$$p = m_\alpha\,v = 6{,}65\cdot 10^{-27}\cdot 1{,}57\cdot 10^{7} = 1{,}04\cdot 10^{-19}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{1{,}04\cdot 10^{-19}}$$$$\lambda = 6{,}35\cdot 10^{-15}\ \text{m}$$Es del orden del tamaño de un núcleo atómico ($\sim 10^{-15}\,\text{m}$), lo que explica que estas partículas fueran la sonda adecuada para explorar el interior del átomo.

b) iii) Que el protón tenga la misma longitud de onda significa que tiene el mismo momento lineal:$$p_p = p_\alpha = 1{,}04\cdot 10^{-19}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$$$v_p = \frac{p}{m_p} = \frac{1{,}04\cdot 10^{-19}}{1{,}67\cdot 10^{-27}}$$$$v_p = 6{,}25\cdot 10^{7}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Unas cuatro veces mayor que la de la alfa, justo el cociente de masas ($6{,}65/1{,}67 \approx 4$).