FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Andalucía · 2024 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

a) Sabiendo que la masa del protón es mayor que la masa del electrón, responda razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: i) Cuando ambas partículas tienen la misma velocidad, la longitud de onda de De Broglie asociada al electrón es mayor que la asociada al protón. ii) Cuando la energía cinética del electrón es menor que la del protón, la longitud de onda del electrón es mayor que la del protón.

b) Un protón tiene una longitud de onda de De Broglie de

4{,}2\cdot 10^{-10}\,\text{m}

. Calcule razonadamente: i) la velocidad del protón; ii) la masa que tendría una partícula con una longitud de onda de De Broglie asociada de

3{,}2\cdot 10^{-12}\,\text{m}

que se moviera con la misma velocidad que el protón; iii) la energía cinética de dicha partícula.

Datos:

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}

;

m_p = 1{,}67\cdot 10^{-27}\,\text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{i) Verdadera}\qquad \text{ii) Verdadera}\;}

\boxed{\;v = 945\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad m' = 2{,}19\cdot 10^{-25}\ \text{kg}\qquad E_c = 9{,}79\cdot 10^{-20}\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) conviene escribir la longitud de onda en la forma adecuada a cada caso: con la misma velocidad conviene

\lambda = h/(mv)

, y con energías cinéticas distintas conviene

\lambda = h/\sqrt{2mE_c}

. Escogiendo bien la expresión, cada apartado se resuelve de un vistazo.

En b) el hilo conductor es que la segunda partícula tiene la misma velocidad que el protón, no el mismo momento. Así que hay que calcular primero

v

y arrastrarla.

Desarrollo

a) i) Verdadera. Con la misma velocidad,

\lambda = \frac{h}{m\,v} \quad\Longrightarrow\quad \lambda \propto \frac{1}{m}

Como

m_e < m_p

, resulta

\lambda_e > \lambda_p

: la partícula más ligera tiene la longitud de onda mayor. (De hecho, unas

1800

veces mayor.)

a) ii) Verdadera. Ahora conviene la expresión en función de la energía cinética:

p = \sqrt{2\,m\,E_c} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}}

En el denominador aparecen ambas magnitudes multiplicándose. Por hipótesis,

m_e < m_p

y además

E_{c,e} < E_{c,p}

, luego

2\,m_e\,E_{c,e} < 2\,m_p\,E_{c,p} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{2 m_e E_{c,e}} < \sqrt{2 m_p E_{c,p}} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_e > \lambda_p

Los dos factores empujan en el mismo sentido, así que la conclusión es segura: la longitud de onda del electrón es mayor.

b) i) De la relación de De Broglie,

\lambda = h/(m_p v)

v = \frac{h}{m_p\,\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{1{,}67\cdot 10^{-27}\cdot 4{,}2\cdot 10^{-10}} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{7{,}01\cdot 10^{-37}}

v = 945\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

b) ii) La nueva partícula se mueve con esa misma velocidad y tiene

\lambda' = 3{,}2\cdot 10^{-12}\,\text{m}

\lambda' = \frac{h}{m'\,v} \quad\Longrightarrow\quad m' = \frac{h}{\lambda'\,v} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{3{,}2\cdot 10^{-12}\cdot 945}

m' = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{3{,}02\cdot 10^{-9}} = 2{,}19\cdot 10^{-25}\ \text{kg}

Es unas

131

veces la masa del protón, coherente con que su longitud de onda sea

131

veces menor a igualdad de velocidad.

b) iii) Energía cinética de esa partícula:

E_c = \tfrac{1}{2}m'\,v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}19\cdot 10^{-25}\cdot (945)^2

E_c = 9{,}79\cdot 10^{-20}\ \text{J}

Consejo

En b) el dato que se conserva es la velocidad, no el momento lineal ni la energía. Calcula $v$ con el protón y úsala tal cual en los dos apartados siguientes.

Y en a) ii) razona con el producto $m\,E_c$ dentro de la raíz: como los dos factores son menores para el electrón, no hay ambigüedad posible. Si solo miras uno de ellos, el razonamiento queda cojo aunque aciertes.