Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) La longitud de onda de De Broglie es $\lambda = h/p$, y con $E_c = p^2/2m$ resulta $p = \sqrt{2mE_c}$:$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}}$$Con la misma energía cinética, $\lambda$ es inversamente proporcional a $\sqrt{m}$:$$\frac{\lambda_{\text{O}_2}}{\lambda_{\text{N}_2}} = \sqrt{\frac{m_{\text{N}_2}}{m_{\text{O}_2}}}$$Y como $m_{\text{O}_2} = 1{,}14\,m_{\text{N}_2}$:$$\frac{\lambda_{\text{O}_2}}{\lambda_{\text{N}_2}} = \sqrt{\frac{1}{1{,}14}} = \frac{1}{1{,}068} = 0{,}937$$$$\lambda_{\text{O}_2} = 0{,}937\ \lambda_{\text{N}_2} \qquad\text{o, equivalentemente,}\qquad \lambda_{\text{N}_2} = 1{,}07\ \lambda_{\text{O}_2}$$La molécula de nitrógeno, más ligera, tiene la longitud de onda algo mayor (un $7\,\%$).

b) i) El electrón parte del reposo, así que todo el trabajo eléctrico se convierte en energía cinética:$$E_c = e\,\Delta V = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 3000 = 4{,}8\cdot 10^{-16}\ \text{J}$$Momento lineal:$$p = \sqrt{2\,m_e\,E_c} = \sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 4{,}8\cdot 10^{-16}} = \sqrt{8{,}74\cdot 10^{-46}}$$$$p = 2{,}96\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$Longitud de onda de De Broglie:$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{2{,}96\cdot 10^{-23}}$$$$\lambda = 2{,}24\cdot 10^{-11}\ \text{m}$$Unas $25\,000$ veces menor que la de la luz visible: por eso un microscopio electrónico resuelve detalles inalcanzables para uno óptico.

b) ii) Con $\Delta V' = 50\,\text{V}$:$$E_c' = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 50 = 8\cdot 10^{-18}\ \text{J}$$$$p' = \sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 8\cdot 10^{-18}} = 3{,}82\cdot 10^{-24}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$$$\lambda' = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{3{,}82\cdot 10^{-24}} = 1{,}74\cdot 10^{-10}\ \text{m}$$Atajo: como $\lambda \propto 1/\sqrt{\Delta V}$,$$\lambda' = \lambda\sqrt{\frac{3000}{50}} = 2{,}24\cdot 10^{-11}\cdot\sqrt{60} = 2{,}24\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}75 = 1{,}74\cdot 10^{-10}\ \text{m}$$Al reducir el voltaje, los electrones son más lentos, su longitud de onda crece casi ocho veces y el microscopio pierde resolución.