FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Radiactividad y desintegraciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Junio

Enunciado

En una excavación arqueológica se ha encontrado un tótem de madera cuyo contenido en

^{14}\text{C}

es el

53\,\%

del que tienen las maderas de árboles actuales de la misma zona.

a) Determina en qué año fue realizado el tótem. (1 punto)

b) El isótopo

^{14}_{6}\text{C}

se desintegra según

^{14}_{6}\text{C} \rightarrow {}^{14}_{7}\text{N} + X

. La partícula

X

tiene una energía total

E = 0{,}667\,\text{MeV}

y una energía cinética

E_c = 0{,}156\,\text{MeV}

. ¿De qué tipo de radiactividad se trata? Calcula la energía en reposo y la masa de la partícula. (1 punto)

Datos: periodo de semidesintegración

^{14}_{6}\text{C}

T_{1/2} = 5730

años; carga elemental,

q = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}

; velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot10^{8}\,\text{m/s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

t = \dfrac{T_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{N_0}{N} \approx 5{,}25\cdot10^{3}

años: el tótem se hizo hacia el año 3225 a. C.

b)

X

es un electrón (

A = 0

Z = -1

): desintegración

\beta^-

. Energía en reposo

E_0 = E - E_c = 0{,}511\,\text{MeV}

; masa

m = E_0/c^2 = 9{,}08\cdot10^{-31}\,\text{kg}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un árbol vivo renueva su carbono y mantiene la proporción de

^{14}\text{C}

de la atmósfera; al cortarlo, el

^{14}\text{C}

empieza a desintegrarse sin reponerse. Así que el 53 % que queda es

N/N_0

, y con la ley de desintegración sale el tiempo transcurrido desde que se talló. En b) la conservación del número másico y de la carga dice qué es

X

; la energía en reposo es la total menos la cinética, y la masa sale de

E_0 = mc^2

pasando los MeV a julios.

Desarrollo

a) Ley de desintegración. El número de núcleos radiactivos que quedan al cabo de un tiempo

t

N = N_0\,e^{-\lambda t},\qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

donde

N_0

es el contenido inicial, el de una madera actual de la misma zona.

Tiempo transcurrido. Con

N/N_0 = 0{,}53

, tomando logaritmos:

t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\frac{N_0}{N} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2}\,\ln\frac{N_0}{N} = \frac{5730}{0{,}693}\,\ln\frac{1}{0{,}53} = 8267\cdot0{,}635 = 5{,}25\cdot10^{3}\,\text{años}

Cuadra con lo esperado: queda algo más de la mitad, así que ha pasado algo menos de un periodo de semidesintegración.

Año de realización. Contando desde el año del examen, 2023:

2023 - 5248 \approx -3225

El tótem se talló hacia el año 3225 a. C. (unos 5250 años antes de 2023).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Identificación de la partícula. En la reacción se conservan el número másico

A

y el número atómico

Z

14 = 14 + A_X\ \Rightarrow\ A_X = 0,\qquad 6 = 7 + Z_X\ \Rightarrow\ Z_X = -1

X

es un electrón,

^{\,0}_{-1}e

: se trata de una desintegración beta menos (

\beta^-

). Un neutrón del núcleo se transforma en un protón y un electrón (y un antineutrino), por eso

Z

sube una unidad y

A

no cambia, como dicen las leyes de Soddy.

Energía en reposo. La energía total relativista es la suma de la de reposo y la cinética,

E = E_0 + E_c

E_0 = E - E_c = 0{,}667 - 0{,}156 = 0{,}511\,\text{MeV}

Masa. De

E_0 = m\,c^2

, pasando a julios con

1\,\text{eV} = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{J}

E_0 = 0{,}511\cdot10^{6}\cdot1{,}6\cdot10^{-19} = 8{,}18\cdot10^{-14}\,\text{J}

m = \frac{E_0}{c^2} = \frac{8{,}18\cdot10^{-14}}{(3\cdot10^{8})^2} = 9{,}08\cdot10^{-31}\,\text{kg}

Es la masa del electrón, lo que confirma la identificación.

Consejo

En a) piden el año, no la antigüedad: el último paso (restar al año actual) vale 0,2 puntos y es fácil olvidarlo. Di desde qué año cuentas.

En b) razona la partícula con la conservación de $A$ y $Z$ antes de nombrarla: la deducción y el tipo de radiactividad se puntúan por separado.