Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Junio

a) Amplitud. Las crestas llegan a $40\,\text{cm}$ y los valles a $-40\,\text{cm}$:$$A = 40\,\text{cm} = 0{,}40\,\text{m}$$Longitud de onda. En $t = 0$ hay crestas en $x = 0$ y en $x = 8\,\text{m}$ (y valles en $x = 4$ y $x = 12\,\text{m}$):$$\lambda = 8\,\text{m}$$Periodo y frecuencia. La boya pasa de la posición más baja a la más alta en $3\,\text{s}$, que es medio periodo:$$\frac{T}{2} = 3\,\text{s}\quad\Longrightarrow\quad T = 6\,\text{s},\qquad f = \frac1T = \frac16\,\text{Hz} = 0{,}167\,\text{Hz}$$Velocidad de propagación.$$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{8}{6} = 1{,}33\,\text{m/s}$$b) Número de onda y frecuencia angular.$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}\,\text{rad/m},\qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\,\text{rad/s}$$Forma de la función de onda. Una onda que avanza hacia la izquierda (sentido $-x$) lleva $\omega t$ y $kx$ con el mismo signo:$$y(x,t) = A\sin(\omega t + kx + \varphi)$$Fase inicial. En $t = 0$ y $x = 0$ la gráfica da $y = 40\,\text{cm} = A$, el máximo:$$A\sin\varphi = A\quad\Longrightarrow\quad \sin\varphi = 1\quad\Longrightarrow\quad \varphi = \frac{\pi}{2}\,\text{rad}$$Comprobación: en $t = 0$, $y = 0{,}40\sin\left(\frac{\pi x}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = 0{,}40\cos\frac{\pi x}{4}$, que tiene un valle en $x = 4\,\text{m}$, donde está la boya. En $t = 3\,\text{s}$ la fase aumenta en $\pi$ y la onda queda invertida, como en la segunda gráfica.

Función de onda.$$y(x,t) = 0{,}40\sin\left(\frac{\pi}{3}\,t + \frac{\pi}{4}\,x + \frac{\pi}{2}\right)\quad(y\ \text{en m},\ x\ \text{en m},\ t\ \text{en s})$$Velocidad de la boya. La boya oscila en vertical; su velocidad es la derivada de la elongación respecto al tiempo:$$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\cos(\omega t + kx + \varphi)$$En $x = 4\,\text{m}$ y $t = 3\,\text{s}$ la fase vale $\dfrac{\pi}{3}\cdot3 + \dfrac{\pi}{4}\cdot4 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{2}$, y$$v_y = 0{,}40\cdot\frac{\pi}{3}\cos\frac{5\pi}{2} = 0$$Tiene sentido: en $t = 3\,\text{s}$ la boya está en lo más alto, un extremo de su oscilación, donde se para antes de volver a bajar. La velocidad de la boya (de vibración) no tiene nada que ver con la de propagación de la onda, $1{,}33\,\text{m/s}$.