FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Junio

Comunitat Valenciana · 2023 · Junio
Enunciado
El satélite Sentinel 1 se utiliza para la monitorización del suelo terrestre por teledetección. Tiene una masa m=2200 kgm = 2200\,\text{kg} y completa 14,514{,}5 órbitas circulares alrededor de la Tierra cada día.

a) Deduce la relación entre el radio de la órbita, la masa de la Tierra y la velocidad angular del Sentinel 1. Calcula la altura a la que se encuentra orbitando. (1 punto)

b) Calcula la velocidad orbital, la energía cinética y la energía mecánica del Sentinel 1. (1 punto)

Datos: constante de gravitación universal, G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2; masa de la Tierra, M=6,0⋅1024 kgM = 6{,}0\cdot10^{24}\,\text{kg}; radio de la Tierra, R=6370 kmR = 6370\,\text{km}.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) GMm/r2=mω2r⇒ω2r3=GMGMm/r^2 = m\omega^2 r \Rightarrow \omega^2 r^3 = GM. Con ω=1,054⋅10−3 rad/s\omega = 1{,}054\cdot10^{-3}\,\text{rad/s}: r=7,11⋅106 mr = 7{,}11\cdot10^{6}\,\text{m}, altura h=r−R≈7,4⋅105 mh = r - R \approx 7{,}4\cdot10^{5}\,\text{m} (743 km).

b) v=ωr=7,50⋅103 m/sv = \omega r = 7{,}50\cdot10^{3}\,\text{m/s}; Ec=6,19⋅1010 JE_c = 6{,}19\cdot10^{10}\,\text{J}; Em=−GMm/(2r)=−6,19⋅1010 JE_m = -GMm/(2r) = -6{,}19\cdot10^{10}\,\text{J}.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

El dato clave está escondido: 14,5 vueltas al día nos dan el periodo, y de ahí la velocidad angular. En una órbita circular la atracción de la Tierra hace de fuerza centrípeta; igualándolas sale la relación entre rr, MM y ω\omega, y de ella el radio. La altura es lo que el radio sobrepasa al de la Tierra. En b) la velocidad es v=ωrv = \omega r, la energía cinética la de siempre y la mecánica, en una órbita circular, es justo la cinética cambiada de signo.
2

Desarrollo

a) Periodo y velocidad angular. Un día son 86 400 s86\,400\,\text{s} y en él da 14,514{,}5 vueltas:T=86 40014,5=5,96⋅103 s,ω=2πT=2π5,96⋅103=1,054⋅10−3 rad/sT = \frac{86\,400}{14{,}5} = 5{,}96\cdot10^{3}\,\text{s},\qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{5{,}96\cdot10^{3}} = 1{,}054\cdot10^{-3}\,\text{rad/s}Relación entre rr, MM y ω\omega. La fuerza gravitatoria es la única que actúa y hace de fuerza centrípeta (segunda ley de Newton):G M mr2=m ω2 r⟹ω2 r3=G M⟹r=(G Mω2)1/3G\,\frac{M\,m}{r^2} = m\,\omega^2\,r\quad\Longrightarrow\quad \omega^2\,r^3 = G\,M\quad\Longrightarrow\quad r = \left(\frac{G\,M}{\omega^2}\right)^{1/3}La masa del satélite se simplifica: el radio no depende de ella.

Radio de la órbita.r=(6,67⋅10−11⋅6,0⋅1024(1,054⋅10−3)2)1/3=(3,60⋅1020)1/3=7,11⋅106 mr = \left(\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}0\cdot10^{24}}{(1{,}054\cdot10^{-3})^2}\right)^{1/3} = \left(3{,}60\cdot10^{20}\right)^{1/3} = 7{,}11\cdot10^{6}\,\text{m}Altura sobre la superficie.h=r−R=7,11⋅106−6,37⋅106=7,4⋅105 m≈743 kmh = r - R = 7{,}11\cdot10^{6} - 6{,}37\cdot10^{6} = 7{,}4\cdot10^{5}\,\text{m} \approx 743\,\text{km}
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Velocidad orbital. En un movimiento circular uniforme, v=ω rv = \omega\,r (equivale a v=GM/rv = \sqrt{GM/r}):v=1,054⋅10−3⋅7,11⋅106=7,50⋅103 m/sv = 1{,}054\cdot10^{-3}\cdot7{,}11\cdot10^{6} = 7{,}50\cdot10^{3}\,\text{m/s}Energía cinética.Ec=12 m v2=12⋅2200⋅(7,50⋅103)2=6,19⋅1010 JE_c = \frac12\,m\,v^2 = \frac12\cdot2200\cdot(7{,}50\cdot10^{3})^2 = 6{,}19\cdot10^{10}\,\text{J}Energía mecánica. Es la suma de la cinética y la potencial gravitatoria, Ep=−GMm/rE_p = -GMm/r. Como en la órbita v2=GM/rv^2 = GM/r, la cinética es Ec=GMm/(2r)E_c = GMm/(2r) yEm=Ec+Ep=G M m2r−G M mr=−G M m2r=−EcE_m = E_c + E_p = \frac{G\,M\,m}{2r} - \frac{G\,M\,m}{r} = -\frac{G\,M\,m}{2r} = -E_cEm=−6,67⋅10−11⋅6,0⋅1024⋅22002⋅7,11⋅106=−6,19⋅1010 JE_m = -\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}0\cdot10^{24}\cdot2200}{2\cdot7{,}11\cdot10^{6}} = -6{,}19\cdot10^{10}\,\text{J}Es negativa: el satélite está ligado a la Tierra.
3

Consejo

No olvides pasar el día a segundos y el radio de la Tierra a metros antes de restar: mezclar kilómetros y metros es el error más caro aquí.

La energía mecánica pesa 0,4 puntos: no basta con el número, justifica Em=−GMm/(2r)E_m = -GMm/(2r) (o Em=Ec+EpE_m = E_c + E_p) y comenta su signo.
Paso 1 de 3
¿Has terminado el problema?
¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.
Sigue practicando
Satélites, órbitas y leyes de Kepler
Starlink es una constelación de satélites que ofrece servicios de Internet de banda ancha utilizando órbitas terrestres…
Física · Cataluña · 2026 · SeptiembreSatélites, órbitas y leyes de Kepler
A finales del año 2025, la Generalitat de Catalunya lanzó al espacio un nanosatélite que describe una órbita circular…
Física · Cataluña · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
Edmond Halley (1656-1742) estudió los registros históricos de observaciones de cometas de los siglos XVI y XVII…
Física · Cataluña · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
El próximo 12 de agosto de 2026 tendrá lugar un eclipse total de Sol: la Luna se situará entre la Tierra y el Sol…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · Julio
Apuntes y todos los problemas de Campo gravitatorio →