FísicaMedioCuestión · 1,5 pts

Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Junio

Comunitat Valenciana · 2023 · Junio
Enunciado
Deduce razonadamente la expresión del periodo de un planeta en una órbita circular alrededor del Sol, en función del radio de la órbita y de la masa del Sol. Suponiendo que las órbitas de la Tierra y Urano son circulares, de radios rT=1,5⋅1011 mr_T = 1{,}5\cdot10^{11}\,\text{m} y rU=2,9⋅1012 mr_U = 2{,}9\cdot10^{12}\,\text{m} respectivamente, calcula el periodo orbital de Urano en años terrestres. Utiliza exclusivamente los datos del enunciado.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
  • Periodo de una órbita circular: T=2πr3G MST = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M_S}} (tercera ley de Kepler).
  • Periodo de Urano: TU=TT (rU/rT)3/2≈85T_U = T_T\,(r_U/r_T)^{3/2} \approx 85 años terrestres.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

En una órbita circular la única fuerza sobre el planeta es la atracción gravitatoria del Sol, y es la que lo hace girar: hace de fuerza centrípeta. Igualando las dos sale el periodo en función de rr y de la masa del Sol, que es la tercera ley de Kepler. Para Urano no tenemos ni GG ni la masa del Sol, y no podemos usarlos: no hacen falta, porque sabemos el periodo de la Tierra (un año) y basta con dividir un periodo entre el otro.
2

Desarrollo

La gravedad hace de fuerza centrípeta. Un planeta de masa mm en una órbita circular de radio rr alrededor del Sol, de masa MSM_S, se mueve con velocidad angular ω=2π/T\omega = 2\pi/T constante. La segunda ley de Newton, con la fuerza gravitatoria como fuerza centrípeta:G MS mr2=m ω2 r=m(2πT)2rG\,\frac{M_S\,m}{r^2} = m\,\omega^2\,r = m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 rPeriodo en función del radio. La masa del planeta se simplifica y despejamos TT:T2=4π2G MS r3⟹T=2πr3G MST^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M_S}\,r^3\quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M_S}}Es la tercera ley de Kepler: T2/r3T^2/r^3 es igual para todos los planetas del Sol.

Comparación entre Urano y la Tierra. Escribimos la expresión para los dos planetas y dividimos; GG y MSM_S desaparecen:TUTT=(rUrT)3/2\frac{T_U}{T_T} = \left(\frac{r_U}{r_T}\right)^{3/2}Periodo de Urano. Con TT=1T_T = 1 año terrestre:TU=TT(rUrT)3/2=1⋅(2,9⋅10121,5⋅1011)3/2=19,333/2=85,0 an˜osT_U = T_T\left(\frac{r_U}{r_T}\right)^{3/2} = 1\cdot\left(\frac{2{,}9\cdot10^{12}}{1{,}5\cdot10^{11}}\right)^{3/2} = 19{,}33^{3/2} = 85{,}0\ \text{años}
3

Consejo

La deducción vale más de la mitad de la cuestión (0,8 puntos): escribe la igualdad entre la fuerza gravitatoria y la centrípeta y di con palabras por qué se igualan.

«Utiliza exclusivamente los datos del enunciado» es una pista: el dato que falta es que la Tierra tarda un año. Si metes la masa del Sol o GG, usas datos que no te dan.
Paso 1 de 3
¿Has terminado el problema?
¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.
Sigue practicando
Satélites, órbitas y leyes de Kepler
Starlink es una constelación de satélites que ofrece servicios de Internet de banda ancha utilizando órbitas terrestres…
Física · Cataluña · 2026 · SeptiembreSatélites, órbitas y leyes de Kepler
A finales del año 2025, la Generalitat de Catalunya lanzó al espacio un nanosatélite que describe una órbita circular…
Física · Cataluña · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
Edmond Halley (1656-1742) estudió los registros históricos de observaciones de cometas de los siglos XVI y XVII…
Física · Cataluña · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
El próximo 12 de agosto de 2026 tendrá lugar un eclipse total de Sol: la Luna se situará entre la Tierra y el Sol…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · Julio
Apuntes y todos los problemas de Campo gravitatorio →