FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Efecto fotoeléctrico y cuantizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

Enunciado

En una experiencia se ilumina, con diferentes longitudes de onda, una placa que tiene dos zonas con metales distintos, titanio y un metal A desconocido. Se mide la energía cinética de los fotoelectrones emitidos obteniendo la gráfica adjunta.

Gráfica de la energía cinética de los fotoelectrones, Ec en eV, frente a 1/λ en m⁻¹. Dos rectas paralelas que suben: la del titanio corta el eje horizontal en 3,5·10⁶ m⁻¹ y la del metal A en 4,0·10⁶ m⁻¹; el eje vertical marca 0,3 y 0,6 eV. En la esquina, una tabla con los trabajos de extracción del berilio, el cadmio y el paladio.

Metal	$W$ (eV)
Berilio	4,95
Cadmio	4,08
Paladio	5,60

a) Calcula razonadamente la longitud de onda umbral para el metal

A

y su trabajo de extracción. Identifícalo a partir de los datos de la tabla adjunta. (1 punto)

b) Determina la velocidad de los electrones emitidos por el titanio cuando se ilumina con luz de frecuencia

1{,}13\cdot10^{15}\,\text{Hz}

. ¿Qué sucede con los electrones del metal A si se ilumina con dicha luz? (1 punto)

Datos: constante de Planck,

h = 6{,}6\cdot10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}

; carga eléctrica del electrón,

e = -1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}

; velocidad de la luz,

c = 3\cdot10^{8}\,\text{m/s}

; masa del electrón,

m_e = 9{,}1\cdot10^{-31}\,\text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\lambda_0 = 2{,}5\cdot10^{-7}\,\text{m}

(

250\,\text{nm}

);

W_A = hc/\lambda_0 = 7{,}92\cdot10^{-19}\,\text{J} = 4{,}95\,\text{eV}

: el metal A es el berilio.

b)

W_{\text{Ti}} = 6{,}93\cdot10^{-19}\,\text{J}

hf = 7{,}46\cdot10^{-19}\,\text{J}

, así que

E_c = 5{,}28\cdot10^{-20}\,\text{J}

v = 3{,}41\cdot10^{5}\,\text{m/s}

. En el metal A,

hf < W_A

: no se emiten electrones.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, escrita con la longitud de onda, es una recta en la gráfica:

E_c = hc\,(1/\lambda) - W

. Cada metal tiene su recta, todas con la misma pendiente

hc

, y cada una corta el eje horizontal en su umbral, donde los electrones salen con energía cinética nula. Leemos el umbral del metal A, calculamos su trabajo de extracción y lo buscamos en la tabla. En b) hacemos lo mismo con el titanio, comparamos la energía del fotón con el trabajo de extracción de cada metal y, si sobra energía, de ella sale la velocidad.

Desarrollo

Ecuación de Einstein. Un fotón de frecuencia

f

lleva una energía

E = hf = hc/\lambda

. Si supera el trabajo de extracción

W

del metal, arranca un electrón, que sale con la energía sobrante:

E_c = h f - W = \frac{h c}{\lambda} - W

Frente a

1/\lambda

es una recta de pendiente

hc

que corta el eje horizontal (

E_c = 0

) en el umbral,

1/\lambda_0 = W/(hc)

. Por debajo de él no hay emisión.

a) Longitud de onda umbral del metal A. Su recta corta el eje horizontal en

1/\lambda_0 = 4{,}0\cdot10^{6}\,\text{m}^{-1}

\lambda_0 = \frac{1}{4{,}0\cdot10^{6}\,\text{m}^{-1}} = 2{,}5\cdot10^{-7}\,\text{m} = 250\,\text{nm}

Trabajo de extracción. En el umbral la energía del fotón es justo el trabajo de extracción:

W_A = \frac{h c}{\lambda_0} = 6{,}6\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}\cdot 4{,}0\cdot10^{6} = 7{,}92\cdot10^{-19}\,\text{J}

En electronvoltios (

1\,\text{eV} = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{J}

W_A = \frac{7{,}92\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 4{,}95\,\text{eV}

Identificación. En la tabla, el metal con

W = 4{,}95\,\text{eV}

es el berilio.

b) Trabajo de extracción del titanio. Su umbral está en

1/\lambda_0 = 3{,}5\cdot10^{6}\,\text{m}^{-1}

W_{\text{Ti}} = h c\,\frac{1}{\lambda_0} = 6{,}6\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}\cdot 3{,}5\cdot10^{6} = 6{,}93\cdot10^{-19}\,\text{J}\ (4{,}33\,\text{eV})

Energía del fotón.

E = h f = 6{,}6\cdot10^{-34}\cdot 1{,}13\cdot10^{15} = 7{,}46\cdot10^{-19}\,\text{J}\ (4{,}66\,\text{eV})

Supera el trabajo de extracción del titanio: hay emisión.

Velocidad de los electrones del titanio.

E_c = h f - W_{\text{Ti}} = 7{,}46\cdot10^{-19} - 6{,}93\cdot10^{-19} = 5{,}28\cdot10^{-20}\,\text{J}\ (0{,}33\,\text{eV})

E_c = \frac{1}{2}\,m_e v^2\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2 E_c}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\cdot 5{,}28\cdot10^{-20}}{9{,}1\cdot10^{-31}}} = 3{,}41\cdot10^{5}\,\text{m/s}

Metal A. La energía del fotón,

7{,}46\cdot10^{-19}\,\text{J}

(

4{,}66\,\text{eV}

), es menor que su trabajo de extracción,

7{,}92\cdot10^{-19}\,\text{J}

(

4{,}95\,\text{eV}

). Lo mismo se ve en la gráfica: esta luz tiene

1/\lambda = f/c = 3{,}77\cdot10^{6}\,\text{m}^{-1}

, por debajo del umbral del metal A. No se emiten electrones del metal A, por intensa que sea la luz: cada fotón no tiene energía suficiente para arrancar uno.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El umbral es el punto donde la recta corta el eje horizontal ( $E_c = 0$ ), y ese eje es $1/\lambda$ , no $\lambda$ : la longitud de onda umbral es su inversa.

En la pregunta del metal A no basta con «no se emiten»: compara $hf$ con $W_A$ con números. Es lo que valen los 0,3 puntos de ese razonamiento.