FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

Enunciado

Dos cargas eléctricas de valor

q_A = +2\,\mu\text{C}

q_B = -2\,\mu\text{C}

están situadas en los puntos

\text{A}(3,0)\,\text{m}

\text{B}(0,3)\,\text{m}

, respectivamente.

a) Calcula y representa en el punto

\text{C}(3,3)\,\text{m}

los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas y el campo eléctrico total. (1 punto)

b) Calcula el potencial eléctrico en el punto

\text{D}(4,\,4)\,\text{m}

. Determina el trabajo para trasladar una carga de

10^{-6}\,\text{C}

desde el infinito hasta el punto

\text{D}

. (Considera nulo el potencial eléctrico en el infinito). (1 punto)

Dato: constante de Coulomb,

k = 9\cdot10^{9}\,\dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\vec E_A = 2000\,\vec\jmath\,\text{N/C}

\vec E_B = -2000\,\vec\imath\,\text{N/C}

; total

\vec E = -2000\,\vec\imath + 2000\,\vec\jmath\ \text{N/C}

, de módulo

2{,}83\cdot10^{3}\,\text{N/C}

, hacia arriba y a la izquierda a

45^\circ

.

b)

V_D = 0\,\text{V}

, porque D está a

\sqrt{17}\,\text{m}

de las dos cargas, opuestas. El trabajo para traer

10^{-6}\,\text{C}

desde el infinito es

W = 0\,\text{J}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El campo total es la suma vectorial de los de cada carga: el de

q_A

, positiva, se aleja de ella y el de

q_B

, negativa, apunta hacia ella. El punto C está justo encima de A y a la derecha de B, a

3\,\text{m}

de los dos, así que los campos salen perpendiculares y del mismo módulo. En b) el potencial es una suma de escalares; D está a la misma distancia de las dos cargas, que son opuestas, así que el potencial se anula, y con él el trabajo.

Desarrollo

a) Campo de una carga puntual. El campo que crea una carga

q

en un punto a distancia

r

\vec E = k\,\frac{q}{r^2}\,\vec u_r

con

\vec u_r

el vector unitario que va de la carga al punto.

Campo de $q_A$ . De

\text{A}(3,0)

\text{C}(3,3)

\vec r_A = 3\,\vec\jmath\,\text{m}

r_A = 3\,\text{m}

\vec u_A = \vec\jmath

\vec E_A = k\,\frac{q_A}{r_A^2}\,\vec\jmath = \frac{9\cdot10^{9}\cdot 2\cdot10^{-6}}{3^2}\,\vec\jmath = 2000\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}

Apunta hacia arriba, alejándose de A.

Campo de $q_B$ . De

\text{B}(0,3)

\text{C}(3,3)

\vec r_B = 3\,\vec\imath\,\text{m}

r_B = 3\,\text{m}

\vec u_B = \vec\imath

\vec E_B = k\,\frac{q_B}{r_B^2}\,\vec\imath = \frac{9\cdot10^{9}\cdot(-2\cdot10^{-6})}{3^2}\,\vec\imath = -2000\,\vec\imath\ \ \text{N/C}

Apunta hacia la izquierda, hacia B, como corresponde a una carga negativa.

Campo total.

\vec E = \vec E_A + \vec E_B = -2000\,\vec\imath + 2000\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}

E = \sqrt{2000^2 + 2000^2} = 2000\sqrt2 = 2{,}83\cdot10^{3}\,\text{N/C}

Representación. En C:

\vec E_A

vertical hacia arriba;

\vec E_B

horizontal hacia la izquierda, de la misma longitud; y

\vec E

, la diagonal del cuadrado que forman, hacia arriba y a la izquierda, a

45^\circ

(paralela a la recta que va de A a B).

qA = +2 µC en A(3, 0) y qB = −2 µC en B(0, 3). En C(3, 3), el campo de qA es vertical hacia arriba y el de qB horizontal hacia la izquierda, hacia B, de la misma longitud; el total es la diagonal, hacia arriba a la izquierda

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b) Potencial en D. El potencial de varias cargas es la suma (escalar) de los potenciales de cada una,

V = k\,\dfrac{q}{r}

. Las distancias a

\text{D}(4,4)

r_{A} = \sqrt{(4-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{17}\,\text{m},\qquad r_{B} = \sqrt{(4-0)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{17}\,\text{m}

D está a la misma distancia de las dos cargas, que son iguales y de signo contrario:

V_D = k\,\frac{q_A}{r_A} + k\,\frac{q_B}{r_B} = \frac{9\cdot10^{9}}{\sqrt{17}}\,(2\cdot10^{-6} - 2\cdot10^{-6}) = 0\,\text{V}

Trabajo desde el infinito hasta D. El trabajo que hace el campo al llevar una carga

q'

de un punto a otro es

W_{\infty\to D} = q'\,(V_\infty - V_D) = 10^{-6}\cdot(0 - 0) = 0\,\text{J}

El trabajo de la fuerza externa que la lleva sin acelerarla es

W_{\text{ext}} = q'\,(V_D - V_\infty) = 0\,\text{J}

. No cuesta nada traer la carga: llega a un punto con el mismo potencial que el infinito.

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Consejo

Cuando un resultado sale cero, explica por qué: aquí, que D equidista de dos cargas opuestas. Así el corrector ve que no es una casualidad de la calculadora.

En a) la representación vale 0,3 puntos: dibuja los tres vectores en C, con $\vec E_B$ apuntando hacia la carga negativa.