Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

a) La gravedad de la estrella es la fuerza centrípeta. Para el planeta, de masa $m$, en una órbita circular de radio $r$ con velocidad $v$:$$G\,\frac{M m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G M}{r}$$Relación con el periodo. En el movimiento circular uniforme $v = \dfrac{2\pi r}{T}$. Sustituyendo:$$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G M}{r}\quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}}$$Es la tercera ley de Kepler; la masa del planeta no interviene.

Cálculo. El periodo es $T = 2\,\text{días} = 2\cdot 86\,400\,\text{s} = 1{,}728\cdot10^{5}\,\text{s}$:$$r = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 5{,}4\cdot10^{29}\cdot(1{,}728\cdot10^{5})^2}{4\pi^2}} = 3{,}01\cdot10^{9}\,\text{m}$$Unos $3$ millones de kilómetros: el planeta está muy cerca de su estrella (la Tierra está a $1{,}5\cdot10^{11}\,\text{m}$ del Sol).

b) Velocidad de escape. Es la velocidad mínima con la que hay que lanzar un cuerpo de masa $m$ desde la superficie del planeta (masa $M_p$, radio $R_p$) para que llegue al infinito con velocidad nula. Solo actúa la gravedad, que es conservativa, así que la energía mecánica se conserva entre la superficie y el infinito, donde $E_c = 0$ y $E_p = 0$:$$\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - G\,\frac{M_p m}{R_p} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M_p}{R_p}}$$Gravedad en la superficie. La aceleración de la gravedad en la superficie es el campo gravitatorio del planeta allí:$$g_0 = G\,\frac{M_p}{R_p^2}$$Radio del planeta. Como $G M_p = g_0 R_p^2$, la velocidad de escape queda $v_e^2 = 2 g_0 R_p$:$$R_p = \frac{v_e^2}{2 g_0} = \frac{(1{,}08\cdot10^{4})^2}{2\cdot 9{,}2} = 6{,}34\cdot10^{6}\,\text{m}$$Masa del planeta.$$M_p = \frac{g_0 R_p^2}{G} = \frac{9{,}2\cdot(6{,}34\cdot10^{6})^2}{6{,}67\cdot10^{-11}} = 5{,}54\cdot10^{24}\,\text{kg}$$Un planeta muy parecido a la Tierra ($R_T = 6{,}37\cdot10^{6}\,\text{m}$, $M_T = 5{,}97\cdot10^{24}\,\text{kg}$).