Problema resuelto de Física: Radiactividad y desintegraciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

Ley de desintegración. La actividad de la muestra es $A = \lambda N$ y, como $N = N_0\,e^{-\lambda t}$,$$A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$$Periodo de semidesintegración. Es el tiempo $T_{1/2}$ en que la actividad (y el número de núcleos) se reduce a la mitad: $A(T_{1/2}) = A_0/2$. En la gráfica, $A_0 = 8000\,\text{Bq}$, y la actividad vale $4000\,\text{Bq}$ a los $5$ días. Lo confirman los puntos siguientes: $2000\,\text{Bq}$ a los $10$ días y $1000\,\text{Bq}$ a los $15$. Cada $5$ días se divide por dos:$$T_{1/2} = 5\,\text{días} = 5\cdot 86\,400\,\text{s} = 4{,}32\cdot10^{5}\,\text{s}$$Constante de desintegración. De $\dfrac{A_0}{2} = A_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}$ sale $\lambda\,T_{1/2} = \ln 2$:$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5\,\text{días}} = 0{,}139\,\text{días}^{-1} = \frac{0{,}693}{4{,}32\cdot10^{5}\,\text{s}} = 1{,}60\cdot10^{-6}\,\text{s}^{-1}$$Número de periodos hasta $1000\,\text{Bq}$. Tras $n$ periodos la actividad es $A = A_0/2^{n}$:$$\frac{A_0}{A} = 2^{n}\quad\Longrightarrow\quad 2^{n} = \frac{8000}{1000} = 8\quad\Longrightarrow\quad n = \frac{\ln 8}{\ln 2} = 3$$Hacen falta $3$ periodos, es decir, $15$ días, como se ve en la gráfica.