Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

Identificación. Comparando con $y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx)$:$$A = 2\,\text{m},\qquad \omega = 50\pi\,\text{rad/s},\qquad k = \frac{\pi}{2}\,\text{rad/m}$$Periodo.$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{50\pi} = 0{,}04\,\text{s}$$Longitud de onda.$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4\,\text{m}$$Número de ondas. Es $k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{\pi}{2}\,\text{rad/m} \approx 1{,}57\,\text{rad/m}$.

Velocidad de propagación.$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{\lambda}{T} = \frac{50\pi}{\pi/2} = 100\,\text{m/s}$$El signo menos entre los dos términos indica que la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$.

Valor de $y(8,t)$. El punto $x = 8\,\text{m}$ está a $8/\lambda = 2$ longitudes de onda del origen. Su fase difiere de la de $x = 0$ en$$k\,\Delta x = \frac{\pi}{2}\cdot 8 = 4\pi\,\text{rad}$$un múltiplo de $2\pi$: los dos puntos vibran en fase. Como el seno no cambia al restar $4\pi$,$$y(8,t) = 2\,\text{sen}(50\pi t - 4\pi) = 2\,\text{sen}(50\pi t) = y(0,t) = 2\,\text{m}$$Valor de $y(0,\,t+0{,}04)$. El intervalo $0{,}04\,\text{s}$ es exactamente un periodo; la fase avanza $\omega\,\Delta t = 50\pi\cdot 0{,}04 = 2\pi\,\text{rad}$:$$y(0,\,t+0{,}04) = 2\,\text{sen}(50\pi t + 2\pi) = 2\,\text{sen}(50\pi t) = y(0,t) = 2\,\text{m}$$Al cabo de un periodo, el punto vuelve al mismo estado de vibración.