Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

La gravedad hace de fuerza centrípeta. Para el satélite de masa $m$ en una órbita de radio $r$:$$G\,\frac{M m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$$Periodo. En un movimiento circular uniforme el satélite recorre la circunferencia $2\pi r$ en un periodo:$$T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi r\,\sqrt{\frac{r}{G M}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G M}}$$Elevando al cuadrado, $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G M}\,r^3$: es la tercera ley de Kepler. El periodo no depende de la masa del satélite.

¿Cuál tiene mayor periodo? Los dos giran alrededor del mismo planeta, así que $T$ solo depende de $r$, y crece con $r^{3/2}$:$$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2} > 1\quad\text{porque } r_2 > r_1$$El satélite 2, el de la órbita más alejada, tiene mayor periodo: recorre una circunferencia más larga y, además, más despacio ($v$ disminuye con $r$).

Energía potencial. La energía potencial gravitatoria, con origen en el infinito, es$$E_p = -\,\frac{G M m}{r}$$Es negativa y su valor absoluto disminuye al crecer $r$. Como las masas son iguales:$$E_{p1} = -\frac{G M m}{r_1} < -\frac{G M m}{r_2} = E_{p2}\quad\text{porque } \frac{1}{r_1} > \frac{1}{r_2}$$El satélite 1, el más cercano al planeta, tiene la menor energía potencial (la más negativa): para subirlo hasta la órbita 2 habría que darle energía.