Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

Fuerzas conservativas y no conservativas. Una fuerza (o un campo de fuerzas) es conservativa cuando el trabajo que realiza al llevar un cuerpo de un punto $A$ a otro $B$ depende solo de esos dos puntos y no del camino seguido. Dicho de otra forma equivalente: su trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo,$$\oint \vec F\cdot d\vec r = 0$$Son conservativas la fuerza gravitatoria, la eléctrica entre cargas en reposo y la elástica de un muelle; en general, todas las fuerzas centrales que solo dependen de la distancia. Una fuerza es no conservativa si su trabajo depende del camino: el rozamiento, la resistencia del aire o la fuerza que hace un motor. El rozamiento siempre se opone al movimiento, así que en un camino cerrado su trabajo es negativo, no nulo, y la energía que se lleva se disipa como calor.

Energía potencial. Solo para una fuerza conservativa se puede asociar a cada punto una energía potencial $E_p$ tal que el trabajo de la fuerza sea lo que disminuye esa energía:$$W_{A\to B} = -\Delta E_p = E_{p}(A) - E_{p}(B)$$Energía potencial gravitatoria. La fuerza entre una masa $M$ (puntual o esférica, tomada desde su centro) y una masa $m$ a distancia $r$ es $F = GMm/r^2$, atractiva. Calculando su trabajo desde $r$ hasta el infinito y tomando el origen de energía potencial en el infinito ($E_p(\infty) = 0$):$$E_p(r) = -\frac{G\,M\,m}{r}$$Es negativa en todo punto (hay que aportar energía para separar las masas hasta el infinito) y aumenta, acercándose a cero, al alejarse. Cerca de la superficie terrestre, para alturas pequeñas, su variación se reduce a la conocida $\Delta E_p = mgh$.

Potencial gravitatorio. Es la energía potencial por unidad de masa colocada en el punto; es una propiedad del campo creado por $M$, no depende de la masa que pongamos:$$V(r) = \frac{E_p}{m} = -\frac{G\,M}{r}\qquad (\text{J/kg})$$Para una esfera homogénea vale lo mismo fuera de ella, midiendo $r$ desde su centro. El trabajo del campo al llevar una masa $m$ de $A$ a $B$ es $W = -m\,(V_B - V_A)$, y los puntos de igual potencial forman superficies equipotenciales (esferas concéntricas), perpendiculares a las líneas de campo.

Energía mecánica total. Es la suma de la energía cinética y la potencial de un cuerpo:$$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{G\,M\,m}{r}$$Principio de conservación de la energía. Por el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo de todas las fuerzas es la variación de la energía cinética: $W_{\text{total}} = \Delta E_c$. Si separamos las fuerzas conservativas ($W_c = -\Delta E_p$) de las no conservativas:$$W_{nc} = \Delta E_c + \Delta E_p = \Delta E_m$$Si solo trabajan fuerzas conservativas ($W_{nc} = 0$), la energía mecánica se conserva: lo que se gana de cinética se pierde de potencial y al revés. Ejemplo: un satélite o un cuerpo lanzado hacia arriba sin rozamiento; al subir pierde velocidad y gana energía potencial. Si hay rozamiento, la energía mecánica disminuye, pero la energía total no desaparece: se transforma en energía interna (calor). Ese es el principio general de conservación de la energía: la energía total de un sistema aislado se mantiene constante.