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Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

Enunciado

Movimiento ondulatorio en una dimensión. Ecuación. Definición de las magnitudes. Velocidad de propagación. Distinción entre ondas transversales y ondas longitudinales. Ejemplos.

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Resultado

Onda: propagación de una perturbación que transporta energía sin transportar materia. Ecuación:

y(x,t) = A\,\operatorname{sen}(\omega t \mp kx + \varphi_0)

, con

A

T

f

\omega = 2\pi f

\lambda

k = 2\pi/\lambda

. Velocidad de propagación

v = \lambda f = \omega/k

, que depende del medio. Transversales (cuerda, luz) y longitudinales (sonido, muelle).

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Estrategia

Es una cuestión de teoría con cinco piezas, y conviene que se vean las cinco: qué es una onda (propagación de una perturbación que transporta energía sin transportar materia), la ecuación de la onda armónica en una dimensión, qué significa cada magnitud con sus unidades y cómo se relacionan, la velocidad de propagación (distinguiéndola de la de vibración de las partículas) y la diferencia entre ondas transversales y longitudinales con ejemplos de cada una.

Desarrollo

Qué es un movimiento ondulatorio. Una onda es la propagación de una perturbación (un desplazamiento, una variación de presión, un campo eléctrico y magnético) de un punto a otro del espacio. La onda transporta energía y cantidad de movimiento, pero no materia: en una onda en una cuerda cada trozo de cuerda oscila alrededor de su posición de equilibrio, mientras la forma de la perturbación avanza. Las ondas mecánicas (sonido, ondas en cuerdas, en el agua) necesitan un medio material; las electromagnéticas no.

Onda armónica en una dimensión. Si el foco realiza un movimiento armónico simple, la perturbación se propaga como una onda armónica. Para una onda que avanza en el sentido positivo del eje X:

y(x,t) = A\,\operatorname{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

Si avanza en el sentido negativo, el signo entre

\omega t

kx

+

. La ecuación dice la elongación

y

del punto situado en

x

en el instante

t

: fijado

x

, cada punto hace un MAS; fijado

t

, la onda es una sinusoide en el espacio (una «foto» de la onda).

Magnitudes.

Amplitud $A$ (m): elongación máxima de los puntos del medio.
Periodo $T$ (s): tiempo que tarda un punto en hacer una oscilación completa. Frecuencia $f = 1/T$ (Hz): oscilaciones por segundo.
Pulsación o frecuencia angular $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$ (rad/s).
Longitud de onda $\lambda$ (m): distancia mínima entre dos puntos que están en el mismo estado de vibración (en fase), por ejemplo entre dos crestas consecutivas. Es lo que avanza la onda en un periodo.
Número de onda $k = 2\pi/\lambda$ (rad/m).
Fase $\omega t - kx + \varphi_0$ (rad) y fase inicial $\varphi_0$ , que fija el estado del origen en $t = 0$ .

Velocidad de propagación. Es la velocidad con que avanza la perturbación. Como la onda recorre una longitud de onda en un periodo:

v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \frac{\omega}{k}

Depende del medio (de su elasticidad e inercia), no del foco: en una cuerda

v = \sqrt{T_{\text{tensión}}/\mu}

y el sonido va a unos 340 m/s en el aire y más deprisa en el agua o en los sólidos. Es constante en un medio homogéneo y no hay que confundirla con la velocidad de vibración de cada punto, que varía con el tiempo:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega\cos(\omega t - kx + \varphi_0),\qquad v_{y,\text{máx}} = A\omega

Ondas transversales y longitudinales. Se distinguen por la dirección en que vibran las partículas respecto de la dirección en que avanza la onda:

Transversales: la vibración es perpendicular a la propagación. Ejemplos: una onda en una cuerda de guitarra, las ondas S de los terremotos y las ondas electromagnéticas (luz), donde lo que «vibra» son los campos $\vec E$ y $\vec B$ , perpendiculares a la dirección de propagación. Pueden polarizarse.
Longitudinales: la vibración tiene la misma dirección que la propagación; el medio se comprime y se dilata. Ejemplos: el sonido en el aire, una onda en un muelle que se comprime a lo largo de su eje y las ondas P de los terremotos.

Consejo

No olvides ninguna de las piezas que nombra el enunciado: el corrector las va buscando una a una. Da cada magnitud con su unidad y escribe expresamente $v = \lambda f$ .

Distingue siempre la velocidad de propagación (constante, la del medio) de la velocidad de vibración de las partículas (variable, máxima $A\omega$ ).