Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

a) Distancias a $P(2,2)$. Las cargas $+q$ en $(2,0)$ y en $(0,2)$ están a 2 m; la carga $-2q$ del origen, a la diagonal $d = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}$ m. Usaremos $Kq = 9\cdot 10^{9}\cdot 10^{-6} = 9\cdot 10^{3}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{C}$.

Campo de la carga $+q$ en $(2,0)$. Está justo debajo de $P$ y la repele hacia arriba:$$\vec E_1 = \frac{Kq}{2^2}\,\vec j = 2250\,\vec j\ \text{N/C}$$Campo de la carga $+q$ en $(0,2)$. Está a la izquierda de $P$ y la empuja hacia la derecha:$$\vec E_2 = \frac{Kq}{2^2}\,\vec i = 2250\,\vec i\ \text{N/C}$$Campo de la carga $-2q$ del origen. Atrae hacia el origen, es decir, a lo largo de la diagonal en el sentido de $-(\vec i + \vec j)$:$$\vec E_3 = -\frac{K\,2q}{(2\sqrt{2})^2}\left(\cos 45^\circ\,\vec i + \operatorname{sen} 45^\circ\,\vec j\right) = -\frac{Kq}{4\sqrt{2}}\,(\vec i + \vec j) = -1591\,(\vec i+\vec j)\ \text{N/C}$$Campo total. Sumando componente a componente:$$\vec E_P = Kq\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4\sqrt{2}}\right)(\vec i + \vec j) = 9\cdot 10^{3}\cdot 0{,}0732\,(\vec i+\vec j) = 659\,(\vec i + \vec j)\ \text{N/C}$$$$|\vec E_P| = 659\sqrt{2} = 932\ \text{N/C}$$Apunta a lo largo de la diagonal, alejándose del origen (a 45° del eje X).

Potencial en $P$. Suma escalar, cada carga con su signo:$$V_P = K\left(\frac{q}{2} + \frac{q}{2} + \frac{-2q}{2\sqrt{2}}\right) = Kq\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 9\cdot 10^{3}\cdot 0{,}293 = 2{,}64\cdot 10^{3}\ \text{V}$$b) Potencial en el centro $C(1,1)$. Las tres cargas están a $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ m:$$V_C = \frac{K}{\sqrt{2}}\left(q + q - 2q\right) = 0\ \text{V}$$Trabajo del campo. Para la carga $q' = -q = -10^{-6}$ C que va de $P$ a $C$:$$W_{\text{campo}} = q'\,(V_P - V_C) = -10^{-6}\cdot(2{,}64\cdot 10^{3} - 0) = -2{,}64\cdot 10^{-3}\ \text{J}$$Trabajo que hay que realizar (fuerza exterior). Si la carga se lleva sin ganar energía cinética, la fuerza exterior hace el trabajo opuesto, igual al aumento de energía potencial:$$W_{\text{ext}} = \Delta E_p = q'\,(V_C - V_P) = -10^{-6}\cdot(0 - 2{,}64\cdot 10^{3}) = +2{,}64\cdot 10^{-3}\ \text{J}$$Interpretación. Una carga negativa tiende a ir hacia potenciales más altos. Aquí la llevamos de $2{,}64\cdot 10^{3}$ V a 0 V, en contra de lo que haría espontáneamente: el campo hace un trabajo negativo y hay que aportar $2{,}64\cdot 10^{-3}$ J desde fuera, que quedan almacenados como energía potencial.