Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

a) Distancias al centro. En el lanzamiento, $r_0 = R_{Io}$; en el punto más alto,$$r_1 = R_{Io} + \frac{9}{7}R_{Io} = \frac{16}{7}R_{Io} = \frac{16}{7}\cdot 1{,}82\cdot 10^{6} = 4{,}16\cdot 10^{6}\ \text{m}$$Conservación de la energía mecánica. En el punto más alto la velocidad es nula:$$\frac{1}{2}m v_0^2 - \frac{G M_{Io} m}{R_{Io}} = -\frac{G M_{Io} m}{\tfrac{16}{7}R_{Io}}$$La masa del cohete se va. Despejando:$$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{G M_{Io}}{R_{Io}}\left(1 - \frac{7}{16}\right) = \frac{9}{16}\,\frac{G M_{Io}}{R_{Io}}\quad\Longrightarrow\quad v_0 = \sqrt{\frac{9}{8}\,\frac{G M_{Io}}{R_{Io}}}$$Sustitución.$$v_0 = \sqrt{\frac{9}{8}\cdot\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 8{,}94\cdot 10^{22}}{1{,}82\cdot 10^{6}}} = \sqrt{3{,}69\cdot 10^{6}} = 1{,}92\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$b) Gravedad en la superficie. Es el campo gravitatorio a la distancia $R_{Io}$ del centro:$$g_0 = \frac{G M_{Io}}{R_{Io}^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 8{,}94\cdot 10^{22}}{(1{,}82\cdot 10^{6})^2} = 1{,}80\ \text{m/s}^2$$Gravedad en el punto más alto. Allí la distancia al centro es $\tfrac{16}{7}R_{Io}$; como $g$ va con $1/r^2$:$$g_1 = \frac{G M_{Io}}{\left(\tfrac{16}{7}R_{Io}\right)^2} = \left(\frac{7}{16}\right)^2 g_0 = 0{,}191\cdot 1{,}80 = 0{,}345\ \text{m/s}^2$$Ambos vectores apuntan hacia el centro de Io.

c) Órbita circular. Si el cohete girase a $r_1 = \tfrac{16}{7}R_{Io}$, la fuerza gravitatoria sería la centrípeta:$$\frac{G M_{Io} m}{r_1^2} = m\,\frac{v^2}{r_1}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G M_{Io}}{r_1}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 8{,}94\cdot 10^{22}}{4{,}16\cdot 10^{6}}} = 1{,}20\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$Periodo. Una vuelta es la longitud de la circunferencia entre la velocidad:$$T = \frac{2\pi r_1}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r_1^3}{G M_{Io}}} = 2\pi\sqrt{\frac{(4{,}16\cdot 10^{6})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 8{,}94\cdot 10^{22}}} = 2{,}18\cdot 10^{4}\ \text{s}$$Son unas 6,1 horas. Fíjate en que la velocidad orbital allí ($1{,}20\cdot 10^{3}$ m/s) es menor que la de lanzamiento: el cohete subió hasta ese punto con velocidad nula, y para quedarse en órbita habría que darle ese impulso lateral al llegar arriba.