Problema resuelto de Física: Óptica geométrica: lentes y espejosSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

Descripción. Una lupa es una lente convergente (biconvexa) de distancia focal corta, de unos pocos centímetros, que se usa como instrumento óptico para ver objetos pequeños con más detalle. A simple vista, un objeto se ve tanto mayor cuanto más cerca del ojo está, pero no se puede acercar más que el punto próximo (unos $d = 25$ cm en un ojo normal), porque el ojo ya no enfoca. La lupa permite acercar el objeto más que eso y seguir viéndolo nítido: el objeto se coloca entre el foco objeto y la lente ($|s| < f'$), y la lente forma una imagen virtual, derecha y mayor, situada lo bastante lejos para que el ojo la enfoque sin esfuerzo.

Formación de la imagen (esquema). Con el convenio de signos habitual (la luz va de izquierda a derecha, $s < 0$ para el objeto real):

• Se dibuja el eje óptico, la lente convergente en el centro (una línea vertical con puntas de flecha hacia fuera) y sus focos $F$ (a la izquierda) y $F'$ (a la derecha), a la distancia $f'$.
• El objeto, una flecha vertical $y$ apoyada en el eje, se coloca entre $F$ y la lente.
• Rayo 1: sale de la punta del objeto paralelo al eje; al atravesar la lente se desvía pasando por el foco imagen $F'$.
• Rayo 2: sale de la punta del objeto y pasa por el centro óptico de la lente sin desviarse.
• A la derecha de la lente estos dos rayos divergen y no se cortan. Se prolongan hacia la izquierda con líneas discontinuas: las prolongaciones se cortan a la izquierda de la lente, más lejos que el objeto. Ahí está la imagen $y'$: virtual (la forman prolongaciones), derecha (apunta hacia arriba, como el objeto) y mayor.

Con la ecuación de las lentes delgadas:$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}, \qquad \beta = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s}$$si $|s| < f'$, sale $s' < 0$ (imagen virtual, en el mismo lado que el objeto) y $|s'| > |s|$, luego $\beta > 1$ (imagen derecha y mayor). Por ejemplo, con $f' = 5$ cm y $s = -4$ cm: $\frac{1}{s'} = \frac{1}{5} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{20}$, $s' = -20$ cm y $\beta = 5$.

Aumento. Lo que importa para el ojo es el ángulo bajo el que se ve el objeto, porque de él depende el tamaño de la imagen en la retina. Se define el aumento angular de la lupa como$$M = \frac{\tan\alpha'}{\tan\alpha}$$donde $\alpha$ es el ángulo bajo el que se ve el objeto a simple vista colocado en el punto próximo, $\tan\alpha = y/d$, y $\alpha'$ el ángulo bajo el que se ve la imagen a través de la lupa. Si el objeto se coloca en el foco, la imagen se forma en el infinito (el ojo la ve sin acomodar, sin cansarse) y $\tan\alpha' = y/f'$, así que$$M = \frac{y/f'}{y/d} = \frac{d}{f'} = \frac{0{,}25\ \text{m}}{f'} = \frac{P}{4}$$con $P = 1/f'$ la potencia en dioptrías. Una lupa de $f' = 5$ cm ($P = 20$ D) aumenta $M = 25/5 = 5$ veces (se dice «$5\times$»). Si en cambio la imagen se forma en el punto próximo, el aumento es algo mayor, $M = 1 + d/f'$. Cuanto más corta sea la focal, más aumenta la lupa; en la práctica no pasa de unos $10\times$ por las aberraciones.