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Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

Enunciado

Una onda transversal se propaga de derecha a izquierda por una cuerda muy larga con una velocidad de propagación de

30\ \text{m/s}

, siendo su longitud de onda

\lambda = 1{,}5\ \text{m}

y la amplitud de vibración de

0{,}2\ \text{m}

. Tomando el origen de coordenadas en el extremo de la derecha y en el instante

t = 0

, el extremo derecho de la cuerda se encuentra en la posición de desplazamiento nulo y sentido positivo de velocidad de oscilación. Determina:

a) el número de ondas y la frecuencia angular.

b) la ecuación que describe el movimiento ondulatorio de la cuerda.

c) la velocidad y aceleración máximas de vibración alcanzadas por un punto de la onda.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

k = 4\pi/3 \approx 4{,}19\ \text{rad/m}

;

\omega = 40\pi \approx 125{,}7\ \text{rad/s}

(

f = 20\ \text{Hz}

).

b)

y(x,t) = 0{,}2\,\operatorname{sen}\!\left(40\pi t + \frac{4\pi}{3}x\right)

m.

c)

v_\text{máx} = 8\pi \approx 25{,}1\ \text{m/s}

;

a_\text{máx} = 320\pi^2 \approx 3{,}16\cdot 10^3\ \text{m/s}^2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con

\lambda

y la velocidad de propagación salen todas las magnitudes de la onda:

k = 2\pi/\lambda

y, como

v = \lambda f

, la frecuencia y

\omega = 2\pi f

.

Para la ecuación hay que fijar dos cosas. El signo entre

\omega t

kx

: una onda que avanza hacia la izquierda (sentido negativo del eje

x

) lleva

+kx

. Y la fase inicial, con las condiciones del extremo

x = 0

t = 0

: elongación nula y velocidad positiva.

Por último, cada punto de la cuerda hace un MAS de amplitud

A

y pulsación

\omega

, así que

v_\text{máx} = A\omega

a_\text{máx} = A\omega^2

. Ojo: esta velocidad de vibración no tiene nada que ver con los 30 m/s de propagación.

Desarrollo

a) Número de ondas.

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1{,}5\ \text{m}} = \frac{4\pi}{3}\ \text{rad/m} \approx 4{,}19\ \text{rad/m}

Frecuencia y frecuencia angular. De

v = \lambda f

f = \frac{v}{\lambda} = \frac{30\ \text{m/s}}{1{,}5\ \text{m}} = 20\ \text{Hz}, \qquad \omega = 2\pi f = 40\pi\ \text{rad/s} \approx 125{,}7\ \text{rad/s}

b) Forma de la ecuación. Tomamos el eje

x

hacia la derecha, con el origen en el extremo derecho (la cuerda ocupa

x \le 0

). Como la onda viaja hacia la izquierda, la fase es

\omega t + kx

y(x,t) = A\,\operatorname{sen}(\omega t + kx + \varphi_0)

Fase inicial. En

x = 0

t = 0

y(0,0) = A\operatorname{sen}\varphi_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad \varphi_0 = 0 \ \text{o}\ \varphi_0 = \pi

La velocidad de vibración es

v_y = \dfrac{\partial y}{\partial t} = A\omega\cos(\omega t + kx + \varphi_0)

, y en el origen vale

A\omega\cos\varphi_0

. Para que sea positiva,

\cos\varphi_0 > 0

, luego

\varphi_0 = 0

.

Ecuación.

y(x,t) = 0{,}2\,\operatorname{sen}\!\left(40\pi\,t + \frac{4\pi}{3}\,x\right)\ \text{m}\qquad (x\ \text{en m},\ t\ \text{en s})

Con coseno sería equivalente:

y = 0{,}2\cos\!\left(40\pi t + \frac{4\pi}{3}x + \frac{3\pi}{2}\right)

m, ya que

\cos(\alpha - \pi/2) = \operatorname{sen}\alpha

.

c) Velocidad de vibración. Derivando respecto del tiempo:

v_y(x,t) = A\,\omega\cos\!\left(40\pi t + \frac{4\pi}{3}x\right)

Su valor máximo se da cuando el coseno vale

\pm 1

(al pasar el punto por la posición de equilibrio):

v_\text{máx} = A\,\omega = 0{,}2\ \text{m}\cdot 40\pi\ \text{rad/s} = 8\pi\ \text{m/s} \approx 25{,}1\ \text{m/s}

Aceleración de vibración. Derivando otra vez:

a_y(x,t) = -A\,\omega^2\operatorname{sen}\!\left(40\pi t + \frac{4\pi}{3}x\right) = -\omega^2\,y(x,t)

Es máxima en los extremos de la oscilación (

y = \pm A

a_\text{máx} = A\,\omega^2 = 0{,}2\ \text{m}\cdot(40\pi\ \text{rad/s})^2 = 320\pi^2\ \text{m/s}^2 \approx 3{,}16\cdot 10^{3}\ \text{m/s}^2

Consejo

Dos detalles que el corrector mira en la ecuación: el signo $+kx$ (la onda va hacia la izquierda) y la fase inicial, que hay que justificar con las dos condiciones (elongación nula y velocidad positiva); con solo la primera, $\varphi_0 = \pi$ también valdría.

No confundas la velocidad de propagación (30 m/s, igual para toda la onda) con la velocidad de vibración de cada punto, que oscila entre $-A\omega$ y $+A\omega$ .