FísicaMedioProblema · 3 pts

Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

También trata: Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Enunciado

La masa de un cuerpo es de

100\ \text{kg}

sobre la superficie de Marte, donde la intensidad del campo gravitatorio es de

3{,}7\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

.

a) ¿Cuál es el peso de dicho cuerpo sobre la superficie de un planeta de igual masa que la de Marte, pero con la mitad de su radio?

b) ¿Cuál sería el nuevo peso del cuerpo si se encuentra sobre la superficie de un tercer planeta de igual radio que Marte, pero con la tercera parte de la masa de éste?

c) En el caso de los tres planetas: Marte, y los de las preguntas a) y b); si un cuerpo de masa

m

se coloca orbitando en una órbita circular de radio

2 \times R_\text{Marte}

, compara las velocidades en cada caso.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P_1 = 4P_M = 1480\ \text{N}

(en Marte pesa 370 N).

b)

P_2 = P_M/3 \approx 123\ \text{N}

.

c)

v = \sqrt{GM/r}

no depende del radio del planeta:

v_1 = v_M

v_2 = v_M/\sqrt{3} \approx 0{,}58\,v_M

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

No conocemos ni la masa ni el radio de Marte, pero no hacen falta: todo se resuelve comparando. La gravedad en la superficie de un planeta es

g_0 = GM/R^2

, así que si cambiamos

M

R

basta ver por cuánto se multiplica

g_0

respecto a la de Marte, y el peso (

P = mg_0

) cambia en la misma proporción. La masa del cuerpo es siempre la misma (100 kg): lo que cambia es su peso.

En el apartado c) la gravedad del planeta hace de fuerza centrípeta; la velocidad orbital

v = \sqrt{GM/r}

depende solo de la masa del planeta y del radio de la órbita, no del radio del planeta. Como la órbita es la misma en los tres casos, solo importa la masa.

Desarrollo

a) Peso en Marte. El peso es la fuerza gravitatoria que ejerce Marte sobre el cuerpo:

P_M = G\,\frac{m\,M_M}{R_M^2} = m\,g_M, \qquad g_M = G\,\frac{M_M}{R_M^2}

P_M = 100\ \text{kg}\cdot 3{,}7\ \text{m/s}^2 = 370\ \text{N}

Planeta 1: misma masa y mitad de radio. Con

M_1 = M_M

R_1 = R_M/2

g_1 = G\,\frac{M_M}{(R_M/2)^2} = 4\,G\,\frac{M_M}{R_M^2} = 4\,g_M = 14{,}8\ \text{m/s}^2

P_1 = m\,g_1 = 4\,P_M = 4\cdot 370\ \text{N} = 1480\ \text{N}

Al reducir el radio a la mitad, el cuerpo queda el doble de cerca del centro y, como la gravedad va con

1/R^2

, el peso se multiplica por 4.

b) Planeta 2: mismo radio y un tercio de la masa. Con

M_2 = M_M/3

R_2 = R_M

g_2 = G\,\frac{M_M/3}{R_M^2} = \frac{g_M}{3} \approx 1{,}23\ \text{m/s}^2

P_2 = m\,g_2 = \frac{P_M}{3} = \frac{370\ \text{N}}{3} \approx 123{,}3\ \text{N}

c) Velocidad orbital. En una órbita circular de radio

r

, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:

G\,\frac{m\,M}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}

La masa

m

del cuerpo en órbita se simplifica. Con

r = 2R_M

en los tres casos:

Marte: $v_M = \sqrt{\dfrac{G\,M_M}{2R_M}}$ .
Planeta 1 ( $M_1 = M_M$ ): $v_1 = \sqrt{\dfrac{G\,M_M}{2R_M}} = v_M$ . El radio del planeta no interviene; solo hace falta que la órbita quede fuera del planeta, y $2R_M$ es cuatro veces su radio.
Planeta 2 ( $M_2 = M_M/3$ ): $v_2 = \sqrt{\dfrac{G\,M_M/3}{2R_M}} = \dfrac{v_M}{\sqrt{3}} \approx 0{,}58\,v_M$ .

Valor numérico (opcional). Como

G M_M = g_M R_M^2

, se puede escribir

v_M = \sqrt{g_M R_M/2}

; el enunciado no da

R_M

, así que la comparación queda en forma de cociente.

Consejo

No confundas masa y peso: la masa del cuerpo (100 kg) es la misma en todos los planetas; lo que cambia es el peso, en newtons.

Cuando el enunciado no da $M$ ni $R$ , el problema te pide trabajar con cocientes: escribe la expresión general, sustituye $R/2$ o $M/3$ y simplifica. Y en las órbitas recuerda que $v = \sqrt{GM/r}$ usa el radio de la órbita, no el del planeta.