FísicaMedio2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio (coincidentes)

Enunciado

El isótopo del gas noble Radón-222 (

^{222}\text{Rn}

) es radiactivo y tiene un período de semidesintegración de

3{,}82

días. La legislación ambiental limita la radiactividad causada por el

^{222}\text{Rn}

300\ \text{Bq}

por metro cúbico.

a) Calcule la constante de desintegración del isótopo

^{222}\text{Rn}

y la actividad inicial de

1\ \text{mg}

^{222}\text{Rn}

.

b) Determine la masa máxima de

^{222}\text{Rn}

que puede haber en una habitación de

20\ \text{m}^3

para que no se sobrepase el límite máximo legal de radiactividad.

Datos: Masa atómica del

^{222}\text{Rn}

M_{^{222}\text{Rn}} = 222\ \text{u}

; Número de Avogadro,

N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lambda = 2{,}10\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}\qquad A_0(1\ \text{mg}) = 5{,}69\cdot 10^{12}\ \text{Bq}\;}

\boxed{\;m_{\text{máx}} = 1{,}05\cdot 10^{-12}\ \text{g} = 1{,}05\cdot 10^{-15}\ \text{kg}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La constante de desintegración sale del periodo:

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

, con el periodo en segundos para que la actividad salga en becquerelios (desintegraciones por segundo).

La actividad es

A = \lambda N

. En a) contamos los núcleos de

1\ \text{mg}

con el número de Avogadro; en b) hacemos lo contrario: de la actividad máxima permitida en la habitación sacamos el número máximo de núcleos y, de ahí, su masa.

Desarrollo

a) Periodo en segundos y constante de desintegración:

T_{1/2} = 3{,}82\cdot 86400 = 3{,}30\cdot 10^{5}\ \text{s}

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{3{,}30\cdot 10^{5}} = 2{,}10\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}\ \ (= 0{,}181\ \text{días}^{-1})

Núcleos en

1\ \text{mg} = 10^{-3}\ \text{g}

N = \frac{m}{M}\,N_A = \frac{10^{-3}}{222}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 2{,}71\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}

A_0 = \lambda N = 2{,}10\cdot 10^{-6}\cdot 2{,}71\cdot 10^{18} = 5{,}69\cdot 10^{12}\ \text{Bq}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Actividad máxima permitida en

20\ \text{m}^3

A_{\text{lím}} = 300\ \text{Bq/m}^3\cdot 20\ \text{m}^3 = 6000\ \text{Bq}

Número máximo de núcleos y su masa:

N_{\text{lím}} = \frac{A_{\text{lím}}}{\lambda} = \frac{6000}{2{,}10\cdot 10^{-6}} = 2{,}86\cdot 10^{9}\ \text{núcleos}

m_{\text{lím}} = \frac{N_{\text{lím}}}{N_A}\,M = \frac{2{,}86\cdot 10^{9}}{6{,}02\cdot 10^{23}}\cdot 222 = 1{,}05\cdot 10^{-12}\ \text{g}

Una cantidad minúscula: un picogramo de radón en toda la habitación ya alcanza el límite legal. Así de radiactivo es un núcleo con una semivida de pocos días.

Consejo

Para que la actividad salga en becquerelios, $\lambda$ tiene que ir en $\text{s}^{-1}$ : pasa el periodo a segundos antes de dividir. Con $\lambda$ en $\text{días}^{-1}$ obtendrías desintegraciones por día.

Cuidado con la masa: con $M = 222\ \text{g/mol}$ y la masa en gramos, el resultado sale en gramos. Mezclar gramos y kilogramos cambia el resultado en un factor 1000.