FísicaDifícil2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Un coro está formado por

12

cantantes, que están dispuestos en una semicircunferencia de radio

R

. Cada uno de los miembros del coro canta con un mismo nivel de intensidad de

90\ \text{dB}

medido a la distancia de

1\ \text{m}

. Sabiendo que cuando canta el coro entero el nivel de intensidad en el centro de la semicircunferencia es de

88{,}72\ \text{dB}

, calcule:

a) La potencia sonora emitida por cada uno de los cantantes.

b) El radio de la semicircunferencia,

R

.

Dato: Intensidad umbral,

I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;P = 1{,}26\cdot 10^{-2}\ \text{W}\ \text{por cantante}\;}

\boxed{\;R \approx 4\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tratamos a cada cantante como un foco puntual que emite por igual en todas direcciones:

I = P/(4\pi r^2)

. Del nivel a

1\ \text{m}

sale la intensidad y de ella la potencia.

En el centro de la semicircunferencia todos los cantantes están a la misma distancia

R

. Las intensidades se suman, así que la intensidad total es

12

veces la de uno a distancia

R

. Del nivel total sacamos esa intensidad y despejamos

R

Desarrollo

a) Intensidad de un cantante a

1\ \text{m}

\beta = 10\log\frac{I_1}{I_0}\ \Rightarrow\ I_1 = I_0\cdot 10^{\beta/10} = 10^{-12}\cdot 10^{9} = 10^{-3}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Potencia de cada cantante:

P = 4\pi r^2 I_1 = 4\pi\cdot 1^2\cdot 10^{-3} = 1{,}26\cdot 10^{-2}\ \text{W}

b) Intensidad en el centro cuando canta todo el coro:

I_c = I_0\cdot 10^{\beta_c/10} = 10^{-12}\cdot 10^{8{,}872} = 7{,}45\cdot 10^{-4}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Los

12

cantantes están a la distancia

R

del centro y sus intensidades se suman:

I_c = 12\,\frac{P}{4\pi R^2}\ \Rightarrow\ R = \sqrt{\frac{12\,P}{4\pi I_c}} = \sqrt{\frac{12\cdot 1{,}26\cdot 10^{-2}}{4\pi\cdot 7{,}45\cdot 10^{-4}}} = \sqrt{16{,}1} = 4{,}0\ \text{m}

Más directo: como

P = 4\pi I_1\cdot(1\ \text{m})^2

, queda

R^2 = 12\,I_1/I_c = 12\cdot 10^{-3}/7{,}45\cdot 10^{-4} = 16{,}1\ \text{m}^2

Consejo

Los decibelios no se suman: se suman las intensidades. Doce cantantes iguales suben el nivel $10\log 12 = 10{,}8\ \text{dB}$ respecto de uno solo a la misma distancia, no $12$ veces.

Comprueba el resultado: a $4\ \text{m}$ un cantante da $90 - 10\log 16 = 77{,}96\ \text{dB}$ , y los doce, $77{,}96 + 10{,}79 = 88{,}75\ \text{dB}$ , que cuadra con el dato (con $R = 4{,}01\ \text{m}$ sale exacto).