FísicaMedio2 pts

Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Una partícula de masa de

5\cdot 10^{4}\ \text{kg}

se encuentra fija en el punto

(6, 8)\ \text{cm}

del plano

xy

.

a) Calcule el campo gravitatorio que dicha partícula genera en el origen de coordenadas.

Desde el origen de coordenadas lanzamos una segunda partícula de masa

25\ \text{mg}

con una velocidad de

5\ \text{mm}\,\text{s}^{-1}

según la dirección que une ambas partículas alejándola de la primera.

b) Obtenga la distancia máxima a la que llegará la segunda partícula con respecto a la primera.

Dato: Constante de Gravitación Universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec g = \left(2{,}00\,\vec i + 2{,}67\,\vec j\right)\cdot 10^{-4}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\ \ (|\vec g| = 3{,}34\cdot 10^{-4}\ \text{m}\,\text{s}^{-2})\;}

\boxed{\;d_{\text{máx}} = 0{,}16\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El campo de una masa puntual tiene módulo

GM/d^2

y apunta hacia la masa. Basta calcular la distancia y el vector unitario que va del origen hacia

(6, 8)\ \text{cm}

.

En b) la única fuerza es la atracción de la primera masa, que es conservativa: la energía mecánica de la segunda partícula se conserva. Al alejarse se frena y, en el punto más lejano, su velocidad es nula: allí toda la energía es potencial. Igualando sale la distancia.

Desarrollo

a) Pasamos todo al SI. La partícula fija está en

(0{,}06;\ 0{,}08)\ \text{m}

, a una distancia del origen

d_0 = \sqrt{0{,}06^2 + 0{,}08^2} = 0{,}10\ \text{m}

Módulo del campo en el origen:

g = \frac{G M}{d_0^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5\cdot 10^{4}}{0{,}10^2} = 3{,}34\cdot 10^{-4}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

El campo apunta del origen hacia la masa, en la dirección del unitario

\vec u = \dfrac{(0{,}06;\ 0{,}08)}{0{,}10} = 0{,}6\,\vec i + 0{,}8\,\vec j

\vec g = 3{,}34\cdot 10^{-4}\,(0{,}6\,\vec i + 0{,}8\,\vec j) = \left(2{,}00\,\vec i + 2{,}67\,\vec j\right)\cdot 10^{-4}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

b) Datos de la segunda partícula:

m = 25\ \text{mg} = 2{,}5\cdot 10^{-5}\ \text{kg}

v_0 = 5\cdot 10^{-3}\ \text{m/s}

, saliendo desde

d_0 = 0{,}10\ \text{m}

y alejándose en línea recta de la masa fija.

Energía mecánica inicial:

E_p = -\frac{G M m}{d_0} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5\cdot 10^{4}\cdot 2{,}5\cdot 10^{-5}}{0{,}10} = -8{,}34\cdot 10^{-10}\ \text{J}

E_c = \tfrac12\,m v_0^2 = \tfrac12\cdot 2{,}5\cdot 10^{-5}\cdot (5\cdot 10^{-3})^2 = 3{,}13\cdot 10^{-10}\ \text{J}

E = E_c + E_p = 3{,}125\cdot 10^{-10} - 8{,}338\cdot 10^{-10} = -5{,}21\cdot 10^{-10}\ \text{J}

Es negativa: la partícula no escapa, llega a una distancia máxima y vuelve. Allí

v = 0

y toda la energía es potencial:

-\frac{G M m}{d_{\text{máx}}} = E\ \Rightarrow\ d_{\text{máx}} = \frac{G M m}{|E|} = \frac{8{,}338\cdot 10^{-11}}{5{,}213\cdot 10^{-10}} = 0{,}16\ \text{m}

La partícula se aleja de

10

16\ \text{cm}

de la masa fija antes de pararse.

Consejo

El campo gravitatorio apunta siempre hacia la masa que lo crea. Si te sale con componentes negativas en el origen y la masa está en el primer cuadrante, has cambiado el sentido.

Las unidades pequeñas son la trampa de este problema: $25\ \text{mg} = 2{,}5\cdot 10^{-5}\ \text{kg}$ (no $10^{-3}$ ) y $5\ \text{mm/s} = 5\cdot 10^{-3}\ \text{m/s}$ . Conviértelas todas antes de empezar.