FísicaMedio2 pts

Efecto fotoeléctrico y cuantización

También trata: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Una célula fotoeléctrica de magnesio, cuya longitud de onda umbral es de

339\ \text{nm}

, se ilumina con un haz de luz de frecuencia

1{,}0\cdot 10^{15}\ \text{Hz}

.

a) Calcule la energía cinética máxima de los electrones emitidos expresada en eV.

b) A continuación, la célula se ilumina con un haz de luz de frecuencia desconocida, de manera que los electrones emitidos con la energía cinética máxima tienen una longitud de onda de de Broglie de

0{,}87\ \text{nm}

. Halle la frecuencia de este segundo haz de luz.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

; Valor absoluto de la carga del electrón,

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}

; Constante de Planck,

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}

; Masa del electrón,

m = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;E_{c,\text{máx}} = 0{,}48\ \text{eV}\;}

\boxed{\;f' = 1{,}37\cdot 10^{15}\ \text{Hz}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La longitud de onda umbral da el trabajo de extracción,

W_0 = hc/\lambda_0

. Con la ecuación de Einstein,

hf = W_0 + E_{c,\text{máx}}

, sale la energía cinética de los electrones.

En b) se recorre el camino al revés: la longitud de onda de de Broglie,

\lambda = h/(mv)

, da la velocidad de los electrones más rápidos y con ella su energía cinética; sumándole el trabajo de extracción tenemos la energía del fotón y su frecuencia.

Desarrollo

a) Trabajo de extracción del magnesio:

W_0 = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{339\cdot 10^{-9}} = 5{,}867\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 3{,}67\ \text{eV}

Energía de cada fotón de

1{,}0\cdot 10^{15}\ \text{Hz}

E_f = h f = 6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 1{,}0\cdot 10^{15} = 6{,}63\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 4{,}14\ \text{eV}

Supera el trabajo de extracción, así que hay emisión:

E_{c,\text{máx}} = E_f - W_0 = 6{,}63\cdot 10^{-19} - 5{,}867\cdot 10^{-19} = 7{,}63\cdot 10^{-20}\ \text{J} = \frac{7{,}63\cdot 10^{-20}}{1{,}6\cdot 10^{-19}}\ \text{eV} = 0{,}48\ \text{eV}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Velocidad de los electrones con

\lambda_{dB} = 0{,}87\cdot 10^{-9}\ \text{m}

\lambda_{dB} = \frac{h}{m v}\ \Rightarrow\ v = \frac{h}{m\,\lambda_{dB}} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 0{,}87\cdot 10^{-9}} = 8{,}37\cdot 10^{5}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Muy por debajo de

c

: vale la expresión clásica de la energía cinética.

E_{c,\text{máx}} = \tfrac12\,m v^2 = \tfrac12\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot (8{,}37\cdot 10^{5})^2 = 3{,}19\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 1{,}99\ \text{eV}

Energía y frecuencia de los fotones:

h f' = W_0 + E_{c,\text{máx}} = 5{,}867\cdot 10^{-19} + 3{,}19\cdot 10^{-19} = 9{,}06\cdot 10^{-19}\ \text{J}\ (5{,}66\ \text{eV})

f' = \frac{9{,}06\cdot 10^{-19}}{6{,}63\cdot 10^{-34}} = 1{,}37\cdot 10^{15}\ \text{Hz}

Consejo

Si restas las energías ya redondeadas en eV ( $4{,}14 - 3{,}67$ ) sale $0{,}47\ \text{eV}$ ; con todas las cifras, $0{,}48\ \text{eV}$ . Cuando se resta, redondea al final.

Para la energía cinética a partir de de Broglie hay un atajo: $E_c = \dfrac{p^2}{2m} = \dfrac{h^2}{2m\lambda^2}$ , sin pasar por la velocidad.