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Inducción electromagnética

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Una espira cuadrada gira con un período de

0{,}5\ \text{s}

en presencia de un campo magnético uniforme de

400\ \text{mT}

perpendicular al eje de giro. Sabiendo que en el instante inicial su flujo magnético es máximo e igual a

1{,}6\cdot 10^{-2}\ \text{T}\,\text{m}^2

, determine:

Espira cuadrada que gira con velocidad angular ω alrededor de un eje vertical (línea discontinua) que pasa por su centro; el campo magnético B es horizontal, perpendicular al eje de giro

a) La longitud del lado de la espira y la expresión del flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo.

b) La expresión de la fuerza electromotriz (fem) inducida en función del tiempo y su valor en

t = 1\ \text{s}

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Resultado

\boxed{\;a = 20\ \text{cm}\qquad \Phi(t) = 1{,}6\cdot 10^{-2}\cos(4\pi t)\ \text{T}\,\text{m}^2\;}

\boxed{\;\varepsilon(t) = 0{,}201\,\text{sen}(4\pi t)\ \text{V}\qquad \varepsilon(1\ \text{s}) = 0\ \text{V}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al girar la espira, el ángulo entre el campo y el vector superficie cambia con el tiempo,

\theta = \omega t + \varphi_0

, y el flujo varía como un coseno:

\Phi(t) = B\,S\cos(\omega t + \varphi_0)

. El flujo máximo es

B\,S = B\,a^2

, lo que da el lado; que sea máximo en

t = 0

fija

\varphi_0 = 0

.

La fem sale de la ley de Faraday,

\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}

, derivando la expresión del flujo.

Desarrollo

a) Lado de la espira, con

B = 0{,}4\ \text{T}

\Phi_{\text{máx}} = B\,a^2\ \Rightarrow\ a = \sqrt{\frac{\Phi_{\text{máx}}}{B}} = \sqrt{\frac{1{,}6\cdot 10^{-2}}{0{,}4}} = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2\ \text{m} = 20\ \text{cm}

Pulsación del giro:

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\ \text{rad/s}

El flujo es

\Phi(t) = \Phi_{\text{máx}}\cos(\omega t + \varphi_0)

, y como en

t = 0

es máximo,

\cos\varphi_0 = 1

\varphi_0 = 0

\Phi(t) = 1{,}6\cdot 10^{-2}\cos(4\pi t)\ \ \text{T}\,\text{m}^2\ (\text{Wb})

b) Ley de Faraday:

\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = 1{,}6\cdot 10^{-2}\cdot 4\pi\,\text{sen}(4\pi t) = 0{,}201\,\text{sen}(4\pi t)\ \ \text{V}

t = 1\ \text{s}

\varepsilon(1\ \text{s}) = 0{,}201\,\text{sen}(4\pi) = 0\ \text{V}

t = 1\ \text{s}

la espira ha dado exactamente dos vueltas (

t = 2T

): vuelve a estar perpendicular al campo, con flujo máximo, y en ese instante el flujo no cambia, así que no hay fem.

Consejo

Flujo y fem están desfasados un cuarto de vuelta: cuando el flujo es máximo (espira perpendicular al campo) la fem es nula, y cuando el flujo pasa por cero la fem es máxima, $\varepsilon_{\text{máx}} = B\,S\,\omega$ .

El signo global de la fem depende del sentido que elijas para el vector superficie. Si el enunciado no lo fija, $\pm 0{,}201\,\text{sen}(4\pi t)\ \text{V}$ valen igual; explica qué criterio usas.