FísicaMedio2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Una onda armónica transversal se propaga en una cuerda tensa en el sentido positivo del eje

x

, con una velocidad de

20\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

. Sabiendo que el punto situado en

x = 0{,}5\ \text{m}

oscila siguiendo la ley

y(t) = 2{,}5\cos(10\pi t)\ \text{cm}

, donde

t

está en s, determine:

a) La longitud de onda y el desfase inicial.

b) La velocidad y aceleración máximas de oscilación de un punto cualquiera de la cuerda.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lambda = 4\ \text{m}\qquad \varphi_0 = \frac{\pi}{4}\ \text{rad (con coseno)}\;}

\boxed{\;v_{\text{máx}} = 0{,}785\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad a_{\text{máx}} = 24{,}7\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La ley de oscilación del punto da la amplitud,

A = 2{,}5\ \text{cm}

, y la pulsación,

\omega = 10\pi\ \text{rad/s}

. Con la velocidad de propagación sale la longitud de onda:

\lambda = v\,T = 2\pi v/\omega

.

Escribimos la onda con la misma función que la ley del punto (coseno),

y(x,t) = A\cos(\omega t - kx + \varphi_0)

, y exigimos que en

x = 0{,}5\ \text{m}

coincida con

2{,}5\cos(10\pi t)

: eso fija

\varphi_0

. En b), derivando respecto del tiempo,

v_{\text{máx}} = A\omega

a_{\text{máx}} = A\omega^2

, iguales para todos los puntos.

Desarrollo

a) Periodo y longitud de onda:

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0{,}2\ \text{s}\qquad \lambda = v\,T = 20\cdot 0{,}2 = 4\ \text{m}

Número de onda:

k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad/m}

. La onda, que avanza hacia

+x

y(x,t) = 2{,}5\cos\left(10\pi t - \frac{\pi}{2}\,x + \varphi_0\right)\ \text{cm}

x = 0{,}5\ \text{m}

tiene que quedar

2{,}5\cos(10\pi t)

-\frac{\pi}{2}\cdot 0{,}5 + \varphi_0 = 0\ \Rightarrow\ \varphi_0 = \frac{\pi}{4}\ \text{rad}

y(x,t) = 2{,}5\cos\left(10\pi t - \frac{\pi}{2}\,x + \frac{\pi}{4}\right)\ \text{cm}\qquad (x\ \text{en m},\ t\ \text{en s})

Si se escribe con seno,

\cos\alpha = \text{sen}(\alpha + \pi/2)

y el desfase inicial es

\varphi_0' = \dfrac{3\pi}{4}\ \text{rad}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Velocidad y aceleración de oscilación:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)\qquad a_y = \frac{\partial v_y}{\partial t} = -A\omega^2\cos(\omega t - kx + \varphi_0)

Sus valores máximos, con

A = 0{,}025\ \text{m}

v_{\text{máx}} = A\omega = 0{,}025\cdot 10\pi = 0{,}785\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

a_{\text{máx}} = A\omega^2 = 0{,}025\cdot (10\pi)^2 = 24{,}7\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

La velocidad máxima de oscilación (

0{,}79\ \text{m/s}

) no tiene nada que ver con la de propagación (

20\ \text{m/s}

Consejo

El desfase inicial depende de si escribes la onda con seno o con coseno ( $\pi/4$ o $3\pi/4$ aquí). Las dos respuestas valen si la ecuación es coherente: dila siempre junto con la función que usas.

Pasa la amplitud a metros antes de calcular $A\omega$ y $A\omega^2$ ; si no, la velocidad te sale en cm/s.