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Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio (coincidentes)

Enunciado

El astronauta Rocannon se ha situado en una órbita circular de

4{,}36\ \text{h}

de período alrededor de Fomalhaut II, un planeta de

4\cdot 10^{23}\ \text{kg}

de masa y

5000\ \text{km}

de radio.

a) Obtenga la altura de la órbita sobre la superficie de Fomalhaut II.

b) Rocannon dispone de

1{,}5\cdot 10^{10}\ \text{J}

para escapar de Fomalhaut II desde la órbita en que se halla. Determine el valor máximo que puede tener la masa conjunta de Rocannon y su nave para lograr escapar con esa energía.

Dato: Constante de Gravitación Universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;h \approx 501\ \text{km}\ \ (r = 5{,}50\cdot 10^{6}\ \text{m})\;}

\boxed{\;m_{\text{máx}} \approx 6{,}19\cdot 10^{3}\ \text{kg}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En una órbita circular la gravedad hace de fuerza centrípeta; combinada con

v = 2\pi r/T

da la tercera ley de Kepler,

T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\,r^3

, de la que sale el radio. La altura es el radio menos el del planeta.

Para escapar, la energía mecánica debe llegar a cero. En órbita circular vale

E = -\dfrac{GMm}{2r}

, así que la energía que hay que aportar es

\dfrac{GMm}{2r}

: proporcional a la masa. Con una energía disponible fija, eso pone un tope a la masa.

Desarrollo

a) Período en segundos:

T = 4{,}36\cdot 3600 = 1{,}570\cdot 10^{4}\ \text{s}

\frac{GMm}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r\ \Rightarrow\ r = \sqrt[3]{\frac{GM\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 4\cdot 10^{23}\cdot (1{,}570\cdot 10^{4})^2}{4\pi^2}} = 5{,}50\cdot 10^{6}\ \text{m}

h = r - R = 5{,}50\cdot 10^{6} - 5{,}00\cdot 10^{6} = 5{,}0\cdot 10^{5}\ \text{m} = 500\ \text{km}

(Con más cifras,

r = 5501\ \text{km}

h = 501\ \text{km}

.)

b) Energía mecánica en la órbita circular, con

v^2 = GM/r

E_{\text{órb}} = \tfrac12 m v^2 - \frac{GMm}{r} = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}

Para escapar, la energía aportada

\Delta E

debe llevar la energía mecánica al menos a cero:

E_{\text{órb}} + \Delta E \geq 0\ \Rightarrow\ \frac{GMm}{2r} \leq \Delta E\ \Rightarrow\ m \leq \frac{2r\,\Delta E}{GM}

m_{\text{máx}} = \frac{2\cdot 5{,}501\cdot 10^{6}\cdot 1{,}5\cdot 10^{10}}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 4\cdot 10^{23}} = \frac{1{,}650\cdot 10^{17}}{2{,}668\cdot 10^{13}} = 6{,}19\cdot 10^{3}\ \text{kg}

Con una nave más pesada, los

1{,}5\cdot 10^{10}\ \text{J}

no bastarían para escapar.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La energía para escapar desde una órbita circular es justo la cinética que ya tiene el satélite: $\dfrac{GMm}{2r}$ . Recuérdalo como «hay que duplicar la energía cinética»; es lo mismo que pasar de $v$ a $\sqrt2\,v$ .

El período siempre en segundos: con horas el radio sale disparatado.

Paso 1 de 3

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