FísicaMedioProblema · 2 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio

Enunciado

Un rayo de luz incide sobre la cara izquierda del prisma de la figura, el cual está construido con un material cuyo índice de refracción vale

1{,}66

Prisma triangular equilátero (tres ángulos de 60°). Un rayo entra por la cara izquierda, se refracta acercándose a la normal (α es el ángulo entre el rayo refractado y la normal a esa cara), atraviesa el prisma y sale por la cara derecha desviándose hacia la base; β es el ángulo entre el rayo emergente y la normal a la cara derecha

a) Determine los ángulos

\alpha

\beta

de la trayectoria que sigue el rayo de luz que entra en el prisma desde el aire con un ángulo de incidencia de

50^\circ

.

b) Calcule el ángulo límite con el que deberá incidir desde el aire el rayo de luz para que este no emerja del prisma.

Dato: Índice de refracción del aire,

n = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\alpha = 27{,}5^\circ\qquad \beta = 63{,}2^\circ\;}

\boxed{\;i_L = 40{,}4^\circ\ \ (\text{para } i < 40{,}4^\circ \text{ el rayo no emerge por la segunda cara})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El rayo se refracta dos veces: al entrar en el prisma por la cara izquierda (de aire a vidrio, se acerca a la normal) y al salir por la cara derecha (de vidrio a aire, se aleja de la normal). En cada cara aplicamos la ley de Snell.

El paso clave es relacionar el ángulo de refracción en la primera cara con el de incidencia en la segunda. En un prisma de ángulo

A

se cumple

r_1 + r_2 = A

(las dos normales y el rayo interior forman un triángulo con el vértice del prisma). Aquí

A = 60^\circ

.

En b) el rayo no sale si en la segunda cara se produce reflexión total: el ángulo de incidencia interior tiene que alcanzar el ángulo límite vidrio-aire. Recorremos el camino hacia atrás para saber con qué ángulo debe entrar el rayo por la primera cara.

Desarrollo

a) Primera cara (aire → prisma), con

i_1 = 50^\circ

n_{\text{aire}}\sin i_1 = n\sin\alpha \quad\Rightarrow\quad \sin\alpha = \frac{\sin 50^\circ}{1{,}66} = \frac{0{,}766}{1{,}66} = 0{,}461 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 27{,}5^\circ

Geometría del prisma. El ángulo de incidencia en la segunda cara es:

r_2 = A - \alpha = 60^\circ - 27{,}5^\circ = 32{,}5^\circ

Segunda cara (prisma → aire):

n\sin r_2 = n_{\text{aire}}\sin\beta \quad\Rightarrow\quad \sin\beta = 1{,}66\cdot\sin 32{,}5^\circ = 1{,}66\cdot 0{,}538 = 0{,}892 \quad\Rightarrow\quad \beta = 63{,}2^\circ

El rayo sale alejándose de la normal, como debe ser al pasar a un medio de menor índice. La desviación total del rayo es

\delta = i_1 + \beta - A = 50^\circ + 63{,}2^\circ - 60^\circ = 53{,}2^\circ

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Ángulo límite en la cara de salida (prisma → aire):

\sin\theta_L = \frac{n_{\text{aire}}}{n} = \frac{1}{1{,}66} = 0{,}602 \quad\Rightarrow\quad \theta_L = 37{,}0^\circ

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

El rayo no emerge si

r_2 \geq \theta_L

. El caso frontera,

r_2 = 37{,}0^\circ

, corresponde a un ángulo de refracción en la primera cara:

\alpha_L = A - \theta_L = 60^\circ - 37{,}0^\circ = 23{,}0^\circ

y a un ángulo de incidencia desde el aire:

\sin i_L = 1{,}66\cdot\sin 23{,}0^\circ = 1{,}66\cdot 0{,}390 = 0{,}648 \quad\Rightarrow\quad i_L = 40{,}4^\circ

Al disminuir el ángulo de incidencia en la primera cara, disminuye

\alpha

y aumenta

r_2 = 60^\circ - \alpha

. Por tanto, para ángulos de incidencia menores que

40{,}4^\circ

(con el rayo llegando como en la figura, desde debajo de la normal) el rayo sufre reflexión total en la cara derecha y no emerge por ella.

Consejo

En los prismas, el truco es la relación geométrica $r_1 + r_2 = A$ : sin ella no hay forma de pasar de la primera cara a la segunda. Si no la recuerdas, dedúcela con el triángulo que forman el rayo interior y las dos caras.

Cuidado con el sentido de la desigualdad en b): el rayo queda atrapado cuando el ángulo de entrada es menor que el límite, no mayor. Y el ángulo límite «del vidrio» ( $37{,}0^\circ$ ) no es la respuesta: piden el ángulo de incidencia desde el aire, que es $40{,}4^\circ$ .