FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio

Enunciado

Un observador que se encuentra a

3\ \text{m}

de una fuente puntual sonora que emite en todas direcciones mide un nivel de intensidad sonora de

53\ \text{dB}

. Halle:

a) La intensidad sonora recibida por el observador y la potencia con la que emite la fuente puntual.

b) La distancia a la que debe situarse el observador para que el nivel de intensidad sonora percibido se reduzca a una cuarta parte.

Dato: Intensidad umbral,

I_0 = 10^{-12}\ \text{W m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;I = 2{,}00\cdot 10^{-7}\ \text{W/m}^2\qquad P = 2{,}26\cdot 10^{-5}\ \text{W}\;}

\boxed{\;r' \approx 291\ \text{m}\ \ (\beta' = 13{,}25\ \text{dB})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El nivel en decibelios es una escala logarítmica de la intensidad: deshaciendo el logaritmo pasamos de

53\ \text{dB}

a vatios por metro cuadrado. Como la fuente emite igual en todas direcciones, su potencia se reparte sobre una esfera de radio igual a la distancia al observador:

P = I\cdot 4\pi r^2

.

En b) lo que se reduce a la cuarta parte es el nivel (los decibelios), no la intensidad: el nuevo nivel es

53/4 = 13{,}25\ \text{dB}

. Lo pasamos a intensidad y buscamos la distancia a la que la misma potencia da esa intensidad.

Desarrollo

a) Definición del nivel de intensidad sonora:

\beta = 10\log\frac{I}{I_0} \quad\Rightarrow\quad I = I_0\cdot 10^{\beta/10} = 10^{-12}\cdot 10^{5{,}3} = 2{,}00\cdot 10^{-7}\ \text{W/m}^2

La potencia de la fuente atraviesa una esfera de radio

r = 3\ \text{m}

P = I\cdot 4\pi r^2 = 2{,}00\cdot 10^{-7}\cdot 4\pi\cdot 3^2 = 2{,}26\cdot 10^{-5}\ \text{W}

b) Nuevo nivel y nueva intensidad:

\beta' = \frac{53}{4} = 13{,}25\ \text{dB} \quad\Rightarrow\quad I' = 10^{-12}\cdot 10^{1{,}325} = 2{,}11\cdot 10^{-11}\ \text{W/m}^2

La potencia de la fuente no cambia, así que la intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia:

I\,r^2 = I'\,r'^2 \quad\Rightarrow\quad r' = r\sqrt{\frac{I}{I'}} = 3\sqrt{\frac{2{,}00\cdot 10^{-7}}{2{,}11\cdot 10^{-11}}} = 3\sqrt{10^{3{,}975}} = 3\cdot 97{,}16 = 291\ \text{m}

Hay que alejarse casi 100 veces más: el nivel en decibelios baja muy despacio con la distancia (cada vez que se duplica la distancia, solo baja unos

6\ \text{dB}

Consejo

No confundas «reducir el nivel a la cuarta parte» con «reducir la intensidad a la cuarta parte». Si fuera la intensidad, bastaría con duplicar la distancia ( $6\ \text{m}$ ) y el nivel solo bajaría unos $6\ \text{dB}$ , hasta unos $47\ \text{dB}$ .

Al deshacer el logaritmo, escribe primero $I = I_0\cdot 10^{\beta/10}$ y luego sustituye: así no te equivocas al dividir los decibelios entre 10.