FísicaMedioProblema · 2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio

Enunciado

Se sospecha que un acuífero recibe aportes intermitentes de radón (

^{222}\text{Rn}

). Para comprobarlo, se toman semanalmente medidas de la actividad radiactiva de muestras de agua. Una de esas medidas arroja un valor de

14\ \text{Bq}

para una muestra de un litro. Determine el valor de la medida de la siguiente semana, para otra muestra de un litro, en cada una de las siguientes condiciones:

a) Si no hubiese ningún aporte de

^{222}\text{Rn}

en el transcurso de esa semana.

b) Si el cuarto día de esa semana la concentración de

^{222}\text{Rn}

en el acuífero experimentase un aumento súbito de

2\cdot 10^{-16}\ \text{g}

por cada litro de agua.

Datos: Período de semidesintegración del

^{222}\text{Rn}

T_{1/2} = 3{,}8

días; Masa atómica del

^{222}\text{Rn}

M_{^{222}\text{Rn}} = 222\ \text{u}

; Número de Avogadro,

N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A_a = 3{,}90\ \text{Bq}\;}

\boxed{\;A_b = 4{,}57\ \text{Bq}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La actividad de una muestra decae con la misma ley exponencial que el número de núcleos,

A = A_0\,e^{-\lambda t}

. En a) solo hay que dejar decaer los

14\ \text{Bq}

durante los 7 días que separan las dos medidas.

En b) cada litro de agua contiene dos «poblaciones» de radón que decaen cada una por su cuenta: la que ya había (que evoluciona exactamente como en a) y la que llega de golpe el cuarto día. Pasamos esa masa a número de núcleos, calculamos su actividad en el momento de llegar y la dejamos decaer los días que faltan hasta la medida. La actividad medida es la suma de las dos.

Tomamos la medida inicial como

t = 0

, la siguiente en

t = 7

días y el aporte en

t = 4

días (el cuarto día tras la medida), de modo que el radón nuevo decae durante 3 días.

Desarrollo

Constante de desintegración (en días⁻¹ para las exponenciales, y en s⁻¹ para la actividad, que va en becquerelios):

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{3{,}8} = 0{,}1824\ \text{días}^{-1} = \frac{0{,}1824}{86\,400} = 2{,}11\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}

a) Sin aportes, la actividad de un litro decae durante 7 días:

A_a = A_0\,e^{-\lambda t} = 14\, e^{-0{,}1824\cdot 7} = 14\cdot 0{,}279 = 3{,}90\ \text{Bq}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Número de núcleos que llegan a cada litro el cuarto día:

N_{\text{ap}} = \frac{m}{M}\,N_A = \frac{2\cdot 10^{-16}}{222}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 5{,}42\cdot 10^{5}\ \text{núcleos}

Su actividad en el momento del aporte:

A_{\text{ap}} = \lambda\,N_{\text{ap}} = 2{,}11\cdot 10^{-6}\cdot 5{,}42\cdot 10^{5} = 1{,}145\ \text{Bq}

Desde el día 4 hasta la medida del día 7 pasan 3 días:

A_{\text{ap}}(7) = 1{,}145\, e^{-0{,}1824\cdot 3} = 1{,}145\cdot 0{,}579 = 0{,}662\ \text{Bq}

El radón que ya había sigue decayendo como en a), así que la medida de la semana siguiente es la suma:

A_b = 3{,}90 + 0{,}662 = 4{,}57\ \text{Bq}

(Si se entendiese que el aporte llega al empezar el cuarto día,

t = 3

días, el radón nuevo decaería 4 días y se mediría

3{,}90 + 0{,}55 = 4{,}46\ \text{Bq}

: la conclusión es la misma.)

Consejo

En la actividad $A = \lambda N$ la constante $\lambda$ tiene que ir en $\text{s}^{-1}$ para que salgan becquerelios (desintegraciones por segundo). En cambio, en $e^{-\lambda t}$ puedes usar días si $t$ también va en días: lo que importa es que el producto $\lambda t$ no tenga unidades.

Un aporte a mitad de intervalo se trata por superposición: cada grupo de núcleos decae por su cuenta desde el momento en que aparece, y al final se suman las actividades.

Paso 1 de 3

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