FísicaMedioProblema · 2 pts

Óptica geométrica: lentes y espejos

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio

Enunciado

Un objeto de

2\ \text{cm}

de altura se sitúa a

18\ \text{cm}

a la izquierda de una pantalla. Entre la pantalla y el objeto, a

14{,}2\ \text{cm}

de este, se sitúa una lente convergente.

a) Determine la distancia focal que debe tener la lente para que se enfoque la imagen del objeto sobre la pantalla y el tamaño de la imagen.

b) A continuación, se retira la pantalla y se sitúa a

5\ \text{cm}

a la derecha de la primera lente otra lente convergente de distancia focal

1{,}2\ \text{cm}

. ¿Dónde se formará la nueva imagen? Realice el correspondiente trazado de rayos.

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Resultado

\boxed{\;f' = 3{,}0\ \text{cm}\qquad y' = -0{,}535\ \text{cm}\ \ (\text{real, invertida y menor})\;}

\boxed{\;s_2 = -1{,}2\ \text{cm} = -f_2' \;\Rightarrow\; \text{la imagen final se forma en el infinito}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) conocemos dónde está el objeto y dónde tiene que estar la imagen (en la pantalla, porque se tiene que «enfocar» allí): la lente queda a

14{,}2\ \text{cm}

del objeto y, por tanto, a

18 - 14{,}2 = 3{,}8\ \text{cm}

de la pantalla. Con la ecuación de las lentes delgadas despejamos la focal, y con el aumento lateral, el tamaño.

En b) encadenamos lentes: la imagen que da la primera lente hace de objeto para la segunda. Al situarla, veremos que cae exactamente en el foco objeto de la segunda lente, y eso tiene una consecuencia muy concreta para dónde se forma la imagen final.

Usamos el convenio de signos habitual: distancias medidas desde la lente, positivas hacia la derecha (sentido de la luz).

Desarrollo

a) Posiciones respecto a la lente: objeto

s = -14{,}2\ \text{cm}

; imagen sobre la pantalla

s' = 18 - 14{,}2 = +3{,}8\ \text{cm}

.

Ecuación de las lentes delgadas:

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{f'} = \frac{1}{3{,}8} - \frac{1}{-14{,}2} = \frac{1}{3{,}8} + \frac{1}{14{,}2}

f' = \frac{3{,}8\cdot 14{,}2}{3{,}8 + 14{,}2} = \frac{53{,}96}{18} = 3{,}0\ \text{cm}

Aumento lateral y tamaño de la imagen:

M = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = \frac{3{,}8}{-14{,}2} = -0{,}268 \quad\Rightarrow\quad y' = M\,y = -0{,}268\cdot 2 = -0{,}535\ \text{cm}

La imagen es real (se recoge en una pantalla), invertida (signo menos) y menor que el objeto: mide

0{,}535\ \text{cm} \approx 5{,}4\ \text{mm}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) La imagen de la primera lente está

3{,}8\ \text{cm}

a su derecha, y la segunda lente está

5\ \text{cm}

a la derecha de la primera. Esa imagen queda, por tanto, a la izquierda de la segunda lente y hace de objeto real para ella:

s_2 = 3{,}8 - 5 = -1{,}2\ \text{cm}

Aplicamos la ecuación de las lentes a la segunda lente (

f_2' = 1{,}2\ \text{cm}

\frac{1}{s_2'} = \frac{1}{f_2'} + \frac{1}{s_2} = \frac{1}{1{,}2} + \frac{1}{-1{,}2} = 0 \quad\Rightarrow\quad s_2' \to \infty

El objeto intermedio está justo en el foco objeto de la segunda lente, así que los rayos que salen de cada punto suyo emergen paralelos entre sí: la imagen final se forma en el infinito (no se puede recoger en una pantalla; un ojo relajado la vería sin acomodar, como en el ocular de un microscopio).

Trazado de rayos.

Primera lente: desde el extremo superior del objeto ( $s = -14{,}2\ \text{cm}$ , $2\ \text{cm}$ de alto) trazamos un rayo paralelo al eje, que sale por el foco imagen $F_1'$ ( $3\ \text{cm}$ a la derecha de la lente), y un rayo por el centro óptico, que no se desvía. Se cortan a $3{,}8\ \text{cm}$ de la lente, $0{,}54\ \text{cm}$ por debajo del eje: es la imagen intermedia, real e invertida.
Segunda lente (a $5\ \text{cm}$ de la primera, con su foco objeto $F_2$ a $1{,}2\ \text{cm}$ a su izquierda, que coincide con la imagen intermedia): desde el extremo de esa imagen trazamos un rayo paralelo al eje, que tras la lente pasa por $F_2'$ ( $1{,}2\ \text{cm}$ a la derecha), y un rayo por el centro de la lente, que sigue recto. Los dos rayos emergentes salen paralelos: no se cortan a ninguna distancia finita, y la imagen está en el infinito.

Los rayos emergentes forman con el eje un ángulo

\theta

tal que

\tan\theta = 0{,}535/1{,}2 \approx 0{,}45

(unos

24^\circ

): ese es el tamaño angular con el que se vería la imagen final.

Consejo

En los sistemas de dos lentes, sitúa la imagen de la primera respecto a la segunda lente antes de aplicar otra vez la ecuación: aquí $s_2 = 3{,}8 - 5 = -1{,}2\ \text{cm}$ .

Si un objeto cae en el foco objeto de una lente convergente, no busques un número para $s'$ : la imagen está en el infinito y los rayos salen paralelos. Dilo así, con palabras, y dibuja los dos rayos emergentes paralelos en el trazado.