FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio

Enunciado

A lo largo de una cuerda se propaga en el sentido

+x

una onda transversal. El periodo de oscilación y la elongación máxima de un punto cualquiera de la cuerda son, respectivamente,

4\cdot 10^{-3}\ \text{s}

3\ \text{mm}

. La distancia mínima entre dos puntos cualesquiera de la cuerda que oscilan en fase es de

0{,}25

metros. En el instante

2\cdot 10^{-3}\ \text{s}

la elongación de un punto situado a

+0{,}5\ \text{m}

del origen de coordenadas es de

-1{,}5\ \text{mm}

y su velocidad de oscilación en ese instante es positiva.

a) Halle la frecuencia angular y la velocidad de propagación de la onda.

b) Obtenga la expresión matemática que describe a la onda.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\omega = 500\pi\ \text{rad/s} \approx 1{,}57\cdot 10^{3}\ \text{rad/s}\qquad v = 62{,}5\ \text{m/s}\;}

\boxed{\;y(x,t) = 3\cdot 10^{-3}\sin\!\left(500\pi t - 8\pi x + \frac{5\pi}{6}\right)\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay que traducir cada frase del enunciado a una magnitud de la onda: la «elongación máxima» es la amplitud, y la «distancia mínima entre dos puntos que oscilan en fase» es la longitud de onda. Con el periodo y la longitud de onda salen directamente la frecuencia angular, el número de onda y la velocidad de propagación.

Lo único delicado es la fase inicial: la sacamos de la condición que nos dan para el punto

x = 0{,}5\ \text{m}

t = 2\cdot 10^{-3}\ \text{s}

. La elongación nos deja dos ángulos posibles y el signo de la velocidad de vibración decide cuál es el bueno.

Desarrollo

a) Datos traducidos:

A = 3\cdot 10^{-3}\ \text{m}

T = 4\cdot 10^{-3}\ \text{s}

\lambda = 0{,}25\ \text{m}

.

Frecuencia angular:

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4\cdot 10^{-3}} = 500\pi\ \text{rad/s} \approx 1{,}57\cdot 10^{3}\ \text{rad/s}

Velocidad de propagación:

v = \frac{\lambda}{T} = \frac{0{,}25}{4\cdot 10^{-3}} = 62{,}5\ \text{m/s}

b) Número de onda:

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}25} = 8\pi\ \text{rad/m}

Como la onda avanza hacia

+x

, la escribimos con signos opuestos en

\omega t

kx

y(x,t) = A\sin(\omega t - kx + \varphi_0) = 3\cdot 10^{-3}\sin(500\pi t - 8\pi x + \varphi_0)\ \text{m}

x = 0{,}5\ \text{m}

t = 2\cdot 10^{-3}\ \text{s}

la fase vale

500\pi\cdot 2\cdot 10^{-3} - 8\pi\cdot 0{,}5 + \varphi_0 = \pi - 4\pi + \varphi_0 = \varphi_0 - 3\pi

. Como restar

3\pi

equivale a restar

\pi

(una vuelta completa más media):

\sin(\varphi_0 - 3\pi) = -\sin\varphi_0 \qquad \cos(\varphi_0 - 3\pi) = -\cos\varphi_0

Condición de la elongación:

-1{,}5\cdot 10^{-3} = 3\cdot 10^{-3}\,(-\sin\varphi_0) \quad\Rightarrow\quad \sin\varphi_0 = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{6}\ \text{o}\ \varphi_0 = \frac{5\pi}{6}

Condición de la velocidad de vibración, derivando respecto al tiempo:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\cos(\omega t - kx + \varphi_0) = -A\,\omega\cos\varphi_0 > 0 \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi_0 < 0

De las dos soluciones, solo

\varphi_0 = 5\pi/6

tiene coseno negativo. Comprobación: la fase en ese punto e instante es

5\pi/6 - 3\pi = -13\pi/6

, equivalente a

-\pi/6

, y

3\sin(-\pi/6) = -1{,}5\ \text{mm}

con

\cos(-\pi/6) > 0

, es decir, velocidad positiva.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al despejar la fase inicial con un arcoseno, la calculadora solo te da una de las dos soluciones. Escribe siempre las dos ( $\theta$ y $\pi - \theta$ ) y elige con el signo de la velocidad de vibración, que es justo para lo que el enunciado te da ese dato.

Si prefieres escribir la onda con coseno, la fase inicial cambia, pero la onda es la misma: lo que se corrige es que la expresión cumpla las dos condiciones del enunciado.