FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio

Enunciado

Dos focos sonoros puntuales

F_1

F_2

se encuentran respectivamente situados en los puntos

(-6,\ 0)\,\text{m}

(6,\ 0)\,\text{m}

del plano

xy

. Se sabe que en el punto

(2,\ 0)\,\text{m}

la intensidad debida a cada foco vale lo mismo, y que en el punto

(0,\ 2)\,\text{m}

el nivel de intensidad sonora es de

80\,\text{dB}

. Determine:

a) El cociente entre la potencia del foco

F_1

y la del foco

F_2

.

b) La potencia del foco

F_1

y la intensidad que se registraría en el punto

(0,\ 8)\,\text{m}

si solamente se recibiesen ondas del foco

F_1

.

Dato: Intensidad umbral,

I_0 = 10^{-12}\ \text{W m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{P_1}{P_2} = 4\;}

\boxed{\;P_1 = 4{,}02\cdot 10^{-2}\ \text{W}\qquad I_1(0,\ 8) = 3{,}2\cdot 10^{-5}\ \text{W/m}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un foco puntual reparte su potencia en esferas cada vez más grandes, así que la intensidad a una distancia

r

I = P/4\pi r^2

. Si en

(2,\ 0)

los dos focos dan la misma intensidad pero

F_1

está más lejos, tiene que ser más potente: el cociente de potencias es el cociente de distancias al cuadrado.

En

(0,\ 2)

, que está a la misma distancia de los dos focos, el nivel de

80\,\text{dB}

nos da la intensidad total, que es la suma de las dos (las intensidades de focos independientes se suman). Con la relación del apartado a) queda una sola incógnita. Después,

F_1

solo en

(0,\ 8)

es aplicar otra vez

I = P/4\pi r^2

Desarrollo

a) Las distancias de cada foco al punto

(2,\ 0)

son

r_1 = 2 - (-6) = 8\,\text{m}

r_2 = 6 - 2 = 4\,\text{m}

. Igualamos las intensidades:

\frac{P_1}{4\pi r_1^2} = \frac{P_2}{4\pi r_2^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{8}{4}\right)^2 = 4

b) Primero pasamos el nivel sonoro a intensidad:

\beta = 10\log\frac{I}{I_0} \quad\Rightarrow\quad I = I_0\cdot 10^{\beta/10} = 10^{-12}\cdot 10^{8} = 10^{-4}\ \text{W/m}^2

El punto

(0,\ 2)

dista lo mismo de los dos focos:

d = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40}\ \text{m}

La intensidad total es la suma de las de cada foco, con

P_1 = 4P_2

I = \frac{P_1 + P_2}{4\pi d^2} = \frac{5P_2}{4\pi\cdot 40} = \frac{P_2}{32\pi} = 10^{-4}\ \text{W/m}^2

P_2 = 32\pi\cdot 10^{-4}\ \text{W} \quad\Rightarrow\quad P_1 = 4P_2 = 128\pi\cdot 10^{-4} = 4{,}02\cdot 10^{-2}\ \text{W}

El punto

(0,\ 8)

está a esta distancia de

F_1

d_1 = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ \text{m}

Y la intensidad que produciría

F_1

solo es:

I_1 = \frac{P_1}{4\pi d_1^2} = \frac{128\pi\cdot 10^{-4}}{4\pi\cdot 100} = 3{,}2\cdot 10^{-5}\ \text{W/m}^2

(Equivale a un nivel de

10\log\left(3{,}2\cdot 10^{7}\right) = 75\,\text{dB}

Consejo

Con varios focos se suman las intensidades, no los decibelios: pasa siempre de dB a W/m² antes de sumar, y vuelve a dB al final si te lo piden.

Deja $\pi$ sin evaluar mientras puedas: en $I = P/4\pi r^2$ se simplifica casi siempre y te ahorras redondeos.