Campo y potencial gravitatorio

Datos útiles del ángulo: $\text{sen}\,53{,}13^\circ = 0{,}8$ y $\cos 53{,}13^\circ = 0{,}6$ (es el triángulo 3-4-5). La fuerza del satélite sobre la nave, de módulo $F' = G M' m/R'^2$, forma el ángulo $\alpha$ con el eje $-y$:$$\vec F' = F'\,\text{sen}\,\alpha\,\vec i - F'\cos\alpha\,\vec j$$La del planeta va según $-\vec j$, con módulo $F_P = G M m/R^2$.

a) La componente $x$ de la fuerza total es solo la del satélite:$$F_x = \frac{G M' m}{R'^2}\,\text{sen}\,\alpha = 9{,}5\ \text{N}$$Despejamos la distancia:$$R' = \sqrt{\frac{G M' m\,\text{sen}\,\alpha}{F_x}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2\cdot 10^{20}\cdot 8000\cdot 0{,}8}{9{,}5}} = 3{,}00\cdot 10^{6}\ \text{m}$$b) La componente $y$ de la fuerza del satélite es:$$F'_y = -F'\cos\alpha = -\frac{F_x}{\tan\alpha} = -\frac{9{,}5}{4/3} = -7{,}125\ \text{N}$$El resto de la componente $y$ total es la atracción del planeta:$$-F_P = F_y - F'_y = -66{,}4 - (-7{,}125) = -59{,}3\ \text{N} \quad\Rightarrow\quad F_P = 59{,}3\ \text{N}$$Y de la ley de gravitación:$$R = \sqrt{\frac{G M m}{F_P}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 4\cdot 10^{23}\cdot 8000}{59{,}275}} = 6{,}00\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Comprobación: el planeta está veinte veces más lejos que el satélite, pero es dos mil veces más masivo, así que su atracción debe ser $2000/20^2 = 5$ veces la del satélite. Y así es: $59{,}3\,\text{N}$ frente a $F' = 9{,}5/0{,}8 = 11{,}9\,\text{N}$.