FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio

Enunciado

Por una cuerda dispuesta a lo largo del eje

x

viaja una onda armónica transversal con velocidad de propagación

\vec v = -400\,\vec i\ \text{m s}^{-1}

. La onda produce en la cuerda una aceleración máxima de

2\cdot 10^{4}\ \text{m s}^{-2}

. En un instante cualquiera, los puntos con elongación nula se repiten cada

0{,}4\,\text{m}

a lo largo del eje

x

.

a) Determine la frecuencia y la amplitud de la onda.

b) Si en el instante inicial y en el origen de coordenadas la elongación es

+1\,\text{mm}

y la velocidad es positiva, calcule la elongación en

x = 1{,}2\,\text{m}

para

t = 2\,\text{s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f = 500\ \text{Hz}\qquad A = 2{,}03\cdot 10^{-3}\ \text{m}\;}

\boxed{\;y(x = 1{,}2\ \text{m},\ t = 2\ \text{s}) = -1\ \text{mm}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una «foto» de la cuerda es una sinusoide: corta el eje dos veces por cada longitud de onda, así que los puntos de elongación nula están separados media longitud de onda. Con

\lambda

y la velocidad de propagación sale la frecuencia. Cada punto de la cuerda hace un MAS, cuya aceleración máxima es

\omega^2 A

: de ahí, la amplitud.

En el apartado b) hay que escribir la ecuación de una onda que viaja hacia

-x

(signo

+

entre

\omega t

kx

), sacar la fase inicial de las condiciones en el origen y evaluar. Hay un atajo:

t = 2\,\text{s}

es un número entero de periodos y

x = 1{,}2\,\text{m}

son tres medias longitudes de onda, así que ese punto está en oposición de fase con el origen.

Desarrollo

a) Dos puntos consecutivos de elongación nula distan

\lambda/2

\frac{\lambda}{2} = 0{,}4\ \text{m} \quad\Rightarrow\quad \lambda = 0{,}8\ \text{m}

La frecuencia sale de

v = \lambda f

f = \frac{v}{\lambda} = \frac{400}{0{,}8} = 500\ \text{Hz} \qquad \omega = 2\pi f = 1000\pi\ \text{rad/s}

Cada punto vibra con un MAS, cuya aceleración máxima es

a_{\text{máx}} = \omega^2 A

A = \frac{a_{\text{máx}}}{\omega^2} = \frac{2\cdot 10^{4}}{\left(1000\pi\right)^2} = 2{,}03\cdot 10^{-3}\ \text{m} \approx 2\ \text{mm}

b) La onda viaja en sentido negativo del eje

x

, con

k = 2\pi/\lambda = 2{,}5\pi\ \text{rad/m}

y(x,t) = A\,\text{sen}\left(\omega t + kx + \varphi_0\right)

Y la velocidad de vibración de cada punto es su derivada respecto al tiempo:

v_y(x,t) = A\,\omega\cos\left(\omega t + kx + \varphi_0\right)

x = 0

t = 0

nos dicen que la elongación es

+1\,\text{mm}

y la velocidad, positiva:

A\,\text{sen}\,\varphi_0 = 1\ \text{mm} \quad\Rightarrow\quad \text{sen}\,\varphi_0 = \frac{1}{2{,}03} = 0{,}493

A\,\omega\cos\varphi_0 > 0 \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi_0 > 0 \quad\Rightarrow\quad \varphi_0 = 0{,}516\ \text{rad}

(Con

A

redondeada a

2\,\text{mm}

saldría

\varphi_0 = \pi/6

.) Ahora evaluamos la fase en

x = 1{,}2\,\text{m}

t = 2\,\text{s}

\omega t + kx = 1000\pi\cdot 2 + 2{,}5\pi\cdot 1{,}2 = 2000\pi + 3\pi

Como

2000\pi

son vueltas completas y sumar

3\pi

equivale a sumar

\pi

y(1{,}2;\,2) = A\,\text{sen}\left(2000\pi + 3\pi + \varphi_0\right) = A\,\text{sen}\left(\pi + \varphi_0\right) = -A\,\text{sen}\,\varphi_0 = -1\ \text{mm}

Es lo que adelantaba la estrategia:

t = 2\,\text{s} = 1000\,T

(con

T = 2\,\text{ms}

), así que el origen vuelve a estar en

+1\,\text{mm}

, y

x = 1{,}2\,\text{m} = \tfrac{3}{2}\lambda

vibra en oposición de fase con él. El resultado no depende del valor exacto de

A

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los ceros de una sinusoide se repiten cada media longitud de onda, no cada $\lambda$ : es la trampa del enunciado. Y no confundas la velocidad de propagación ( $400\,\text{m/s}$ ) con la de vibración de los puntos de la cuerda.

Antes de meter números en un seno, mira si el tiempo es un múltiplo del periodo o la distancia un múltiplo de $\lambda/2$ : te ahorra la fase inicial y el riesgo de equivocarte con la calculadora.