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Campo y potencial gravitatorio

Extremadura · 2023 · Junio

Enunciado

Superficies equipotenciales en un campo gravitatorio: definición y propiedades. Cita un ejemplo gráfico. (Calificación, 2 puntos).

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Resultado

Equipotencial: superficie de puntos con el mismo

V

. El campo no hace trabajo sobre ella, la corta perpendicularmente y apunta hacia potenciales menores; para una masa puntual son esferas concéntricas.

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Estrategia

Se define la superficie equipotencial a partir del potencial gravitatorio,

V = -GM/r

. Sus propiedades salen de la relación entre campo, potencial y trabajo: el trabajo del campo es

W = -m\,\Delta V

y el campo apunta hacia donde el potencial disminuye. El ejemplo gráfico más sencillo es el de una masa puntual (o un planeta esférico): esferas concéntricas cortadas por líneas de campo radiales.

Desarrollo

Definición. Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos del espacio en los que el potencial gravitatorio tiene el mismo valor:

V(x, y, z) = \text{constante}

El potencial gravitatorio en un punto es la energía potencial por unidad de masa colocada en él,

V = E_p/m

, y se mide en J/kg. Para una masa puntual

M

(o una esfera homogénea, fuera de ella):

V = -\frac{G\,M}{r}

donde

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2

es la constante de gravitación y

r

la distancia al centro de la masa. Como

V

solo depende de

r

, los puntos con el mismo potencial son los que están a la misma distancia: esferas concéntricas con la masa.

Propiedades. La primera sale de que la fuerza gravitatoria es conservativa:

W_{A\to B} = -\Delta E_p = -m\,(V_B - V_A) = 0 \quad \text{si } V_A = V_B

El trabajo del campo es nulo al mover una masa sobre una equipotencial, como acabamos de ver.
Las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales en cada punto. Si el campo tuviera una componente tangente a la superficie, haría trabajo al desplazar una masa por ella, en contra de la propiedad 1. Matemáticamente, $\vec g = -\nabla V$ .
El campo apunta hacia los potenciales decrecientes. Una masa abandonada en el campo se mueve espontáneamente hacia donde $V$ es menor (más negativo): hacia la masa que crea el campo.
Dos superficies equipotenciales distintas no se cortan nunca. En el punto de corte el potencial tendría dos valores a la vez.
Donde las superficies (trazadas con la misma diferencia de potencial entre una y la siguiente) están más juntas, el campo es más intenso, porque $g \approx |\Delta V|/\Delta r$ . Alrededor de un planeta se van separando al alejarse, ya que $g = GM/r^2$ disminuye.

Ejemplo gráfico. Alrededor de la Tierra (tratada como una esfera homogénea), las equipotenciales son esferas concéntricas con ella; en un dibujo plano, circunferencias concéntricas. Las líneas de campo son rectas radiales dirigidas hacia el centro, que cortan a cada circunferencia en ángulo recto. Si se dibujan con el mismo

\Delta V

entre una y otra, las circunferencias quedan cada vez más separadas al alejarse del planeta.

Cerca de la superficie, en una región pequeña donde

g

es prácticamente uniforme, las equipotenciales son planos horizontales (

V = g\,h

+ constante) y las líneas de campo, rectas verticales hacia abajo: cada «altura» es una equipotencial.

Consejo

No basta con la definición: el corrector espera las propiedades (trabajo nulo, perpendicularidad con las líneas de campo, que no se cortan) y un dibujo con las dos familias de líneas.

En el dibujo, marca el sentido de las líneas de campo hacia la masa y escribe junto a cada circunferencia su valor de $V$ : así se ve que el potencial crece (se hace menos negativo) al alejarse.

Paso 1 de 3

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Campo y potencial gravitatorio

Responda a1 o a2 a1) Dos masas puntuales,