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Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Extremadura · 2023 · Julio
Enunciado
Diga si la siguiente frase es CIERTA o FALSA y razone la respuesta: “En un campo magnético penetra un electrón y como consecuencia de ello describe una trayectoria circular. Se puede concluir que la velocidad con la que el electrón penetró en el campo magnético era paralela a dicho campo”. (Calificación, 2 puntos).
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Resultado
FALSA. Con v⃗∥B⃗\vec v\parallel\vec B la fuerza de Lorentz es nula y el movimiento es rectilíneo uniforme; la trayectoria circular exige v⃗⊥B⃗\vec v\perp\vec B.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga es la de Lorentz, F⃗=q (v⃗×B⃗)\vec F = q\,(\vec v\times\vec B). Basta mirar qué fuerza actúa si v⃗\vec v es paralela a B⃗\vec B (producto vectorial nulo) y qué condición hace falta para que la trayectoria sea una circunferencia.
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Desarrollo

La frase es FALSA: si la velocidad hubiera sido paralela al campo, el electrón no se habría desviado.

La fuerza magnética sobre una carga qq que se mueve con velocidad v⃗\vec v en un campo B⃗\vec B esF⃗=q (v⃗×B⃗)⟹F=∣q∣ v B sen⁡θ\vec F = q\,(\vec v\times\vec B)\qquad\Longrightarrow\qquad F = |q|\,v\,B\,\operatorname{sen}\thetadonde θ\theta es el ángulo entre v⃗\vec v y B⃗\vec B.
  • Velocidad paralela al campo (θ=0∘\theta = 0^\circ o 180∘180^\circ): sen⁡θ=0\operatorname{sen}\theta = 0, así que F=0F = 0. Sin fuerza, el electrón sigue en línea recta con velocidad constante (movimiento rectilíneo uniforme).
  • Velocidad perpendicular al campo (θ=90∘\theta = 90^\circ): la fuerza es máxima, F=∣q∣ v BF = |q|\,v\,B, y siempre perpendicular a la velocidad. Una fuerza perpendicular a v⃗\vec v no cambia su módulo, solo su dirección: es una fuerza centrípeta constante en módulo y el electrón describe una circunferencia en el plano perpendicular a B⃗\vec B. Igualando con la fuerza centrípeta:
∣q∣ v B=m v2r⟹r=m v∣q∣ B|q|\,v\,B = \frac{m\,v^2}{r}\qquad\Longrightarrow\qquad r = \frac{m\,v}{|q|\,B}
  • Ángulo cualquiera: la componente de v⃗\vec v paralela a B⃗\vec B se conserva y la perpendicular gira, así que la trayectoria es una hélice.
Por tanto, que el electrón describa una trayectoria circular permite concluir justo lo contrario de lo que dice la frase: penetró con una velocidad perpendicular al campo magnético.
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Consejo

Antes de razonar, escribe F=∣q∣ v B sen⁡θF = |q|\,v\,B\,\operatorname{sen}\theta y dale los tres valores clave a θ\theta: 0∘0^\circ recta, 90∘90^\circ circunferencia, cualquier otro hélice.

El signo del electrón solo cambia el sentido de giro, nunca la forma de la trayectoria.
Paso 1 de 3
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