Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Enunciado. El principio de incertidumbre (Heisenberg, 1927) afirma que no es posible conocer simultáneamente y con precisión arbitraria la posición y la cantidad de movimiento de una partícula: cuanto más exactamente se determina una de ellas, mayor es la indeterminación de la otra. Lo mismo ocurre con la energía de un sistema y el intervalo de tiempo en que se mide.

Expresión matemática.$$\Delta x\cdot\Delta p_x \geq \frac{h}{4\pi}\qquad\qquad \Delta E\cdot\Delta t \geq \frac{h}{4\pi}$$(en muchos libros, $\dfrac{h}{4\pi} = \dfrac{\hbar}{2}$, con $\hbar = h/2\pi$).

Significado de las magnitudes.

• $\Delta x$: incertidumbre (indeterminación) en la posición de la partícula a lo largo de una dirección, en metros (m).
• $\Delta p_x$: incertidumbre en la componente de la cantidad de movimiento, $p_x = m\,v_x$, en esa misma dirección, en $\text{kg}\,\text{m}/\text{s}$.
• $\Delta E$: incertidumbre en la energía del sistema, en julios (J).
• $\Delta t$: intervalo de tiempo durante el que se mide esa energía (o vida media de un estado), en segundos (s).
• $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$: constante de Planck. Fija el límite inferior del producto de las dos incertidumbres; sus unidades ($\text{J}\,\text{s} = \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}$) son las del producto $\Delta x\,\Delta p$ y del producto $\Delta E\,\Delta t$.

Significado físico. No es un defecto de los aparatos de medida que se arreglaría midiendo mejor: es una propiedad de la naturaleza, consecuencia de la dualidad onda-corpúsculo. Una partícula lleva asociada una onda de De Broglie, $\lambda = h/p$; una onda con una longitud de onda (y, por tanto, una $p$) bien definida se extiende por todo el espacio, y para localizarla en una región pequeña hay que superponer muchas longitudes de onda, es decir, muchos valores de $p$. No hay que confundirlo con la perturbación que cualquier medida produce en el sistema: aunque la medida fuera perfecta, la indeterminación seguiría ahí. Por eso en el mundo microscópico no se puede hablar de trayectorias definidas (como las órbitas del modelo de Bohr), sino de probabilidades de encontrar la partícula en una región.

Por qué no se nota en lo cotidiano. $h$ es tan pequeña que solo importa para masas minúsculas. Para un electrón ($m = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$) localizado dentro de un átomo, $\Delta x \approx 10^{-10}\ \text{m}$:$$\Delta v \geq \frac{h}{4\pi\,m\,\Delta x} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{4\pi\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 10^{-10}} \approx 5{,}8\cdot 10^{5}\ \text{m/s}$$una indeterminación del orden de la propia velocidad del electrón. Para una pelota de $0{,}1\ \text{kg}$ localizada con $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$ sale $\Delta v \geq 5{,}3\cdot 10^{-28}\ \text{m/s}$, imposible de apreciar: la mecánica clásica sigue valiendo para los objetos macroscópicos.